Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2562 / 6658
↖ ↑ ↗
← N 31.914868°
W123.706055°		 ← 2 073.94 m → N 31.914868°
W123.684082°		 →
↑
2 074.14 m
↓
↑
2 074.14 m
↓
N 31.896214°
W123.706055°		 ← 2 074.36 m →
4 302 082 m²		 N 31.896214°
W123.684082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156402587890625 y=0.406402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156402587890625 × 214)
    floor (0.156402587890625 × 16384)
    floor (2562.5)     		tx = 2562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406402587890625 × 214)
    floor (0.406402587890625 × 16384)
    floor (6658.5)     		ty = 6658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2562 / 6658 ti = "14/2562/6658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2562/6658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2562 ÷ 214
    2562 ÷ 16384     		x = 0.1563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6658 ÷ 214
    6658 ÷ 16384     		y = 0.4063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15907796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    0.187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.588281632137329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15907796} λ = -2.15907796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.588281632137329))-π/2
    2×atan(1.80089116155307)-π/2
    2×1.06390792252527-π/2
    2.12781584505054-1.57079632675     		φ = 0.55701952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15907796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55701952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.914868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2562 KachelY 6658 -2.15907796 0.55701952 -123.706055 31.914868
    Oben rechts KachelX + 1 2563 KachelY 6658 -2.15869446 0.55701952 -123.684082 31.914868
    Unten links KachelX 2562 KachelY + 1 6659 -2.15907796 0.55669396 -123.706055 31.896214
    Unten rechts KachelX + 1 2563 KachelY + 1 6659 -2.15869446 0.55669396 -123.684082 31.896214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55701952-0.55669396) × R
    0.000325559999999947 × 6371000     		dl = 2074.14275999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55701952-0.55669396) × R
    0.000325559999999947 × 6371000     		dr = 2074.14275999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15907796--2.15869446) × cos(0.55701952) × R
    0.00038349999999987 × 0.848834535317246 × 6371000     		do = 2073.93917019741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15907796--2.15869446) × cos(0.55669396) × R
    0.00038349999999987 × 0.849006600429345 × 6371000     		du = 2074.35957318641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55701952)-sin(0.55669396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848834535317246-0.849006600429345)×R²
    abs(-2.15869446--2.15907796)×0.000172065112099773×R²
    0.00038349999999987×0.000172065112099773×6371000²
    0.00038349999999987×0.000172065112099773×40589641000000     		ar = 4302081.94045033m²