Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25632 / 42080
↖ ↑ ↗
← S 45.460131°
W 39.199219°		 ← 428.41 m → S 45.460131°
W 39.193726°		 →
↑
428.39 m
↓
↑
428.39 m
↓
S 45.463983°
W 39.199219°		 ← 428.38 m →
183 519 m²		 S 45.463983°
W 39.193726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391120910644531 y=0.642097473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391120910644531 × 216)
    floor (0.391120910644531 × 65536)
    floor (25632.5)     		tx = 25632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642097473144531 × 216)
    floor (0.642097473144531 × 65536)
    floor (42080.5)     		ty = 42080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25632 / 42080 ti = "16/25632/42080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25632/42080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25632 ÷ 216
    25632 ÷ 65536     		x = 0.39111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42080 ÷ 216
    42080 ÷ 65536     		y = 0.64208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64208984375 × 2 - 1) × π
    -0.2841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892776818523926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68415543} λ = -0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892776818523926))-π/2
    2×atan(0.409517018012711)-π/2
    2×0.388683684397162-π/2
    0.777367368794323-1.57079632675     		φ = -0.79342896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79342896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.460131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25632 KachelY 42080 -0.68415543 -0.79342896 -39.199219 -45.460131
    Oben rechts KachelX + 1 25633 KachelY 42080 -0.68405956 -0.79342896 -39.193726 -45.460131
    Unten links KachelX 25632 KachelY + 1 42081 -0.68415543 -0.79349620 -39.199219 -45.463983
    Unten rechts KachelX + 1 25633 KachelY + 1 42081 -0.68405956 -0.79349620 -39.193726 -45.463983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79342896--0.79349620) × R
    6.72400000000239e-05 × 6371000     		dl = 428.386040000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79342896--0.79349620) × R
    6.72400000000239e-05 × 6371000     		dr = 428.386040000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68415543--0.68405956) × cos(-0.79342896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701405409648006 × 6371000     		do = 428.409846024833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68415543--0.68405956) × cos(-0.79349620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701357481908641 × 6371000     		du = 428.380572347785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79342896)-sin(-0.79349620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701405409648006-0.701357481908641)×R²
    abs(-0.68405956--0.68415543)×4.79277393647948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79277393647948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79277393647948e-05×40589641000000     		ar = 183518.527287541m²