Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2564 / 3588
↖ ↑ ↗
← S 79.237185°
E 45.351563°		 ← 1 825.04 m → S 79.237185°
E 45.439453°		 →
↑
1 823.64 m
↓
↑
1 823.64 m
↓
S 79.253585°
E 45.351563°		 ← 1 822.30 m →
3 325 709 m²		 S 79.253585°
E 45.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6260986328125 y=0.8760986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6260986328125 × 212)
    floor (0.6260986328125 × 4096)
    floor (2564.5)     		tx = 2564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8760986328125 × 212)
    floor (0.8760986328125 × 4096)
    floor (3588.5)     		ty = 3588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2564 / 3588 ti = "12/2564/3588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2564/3588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2564 ÷ 212
    2564 ÷ 4096     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3588 ÷ 212
    3588 ÷ 4096     		y = 0.8759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    -0.751953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36233041327637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36233041327637))-π/2
    2×atan(0.0942004412454626)-π/2
    2×0.0939232792196468-π/2
    0.187846558439294-1.57079632675     		φ = -1.38294977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38294977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.237185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2564 KachelY 3588 0.79153409 -1.38294977 45.351563 -79.237185
    Oben rechts KachelX + 1 2565 KachelY 3588 0.79306807 -1.38294977 45.439453 -79.237185
    Unten links KachelX 2564 KachelY + 1 3589 0.79153409 -1.38323601 45.351563 -79.253585
    Unten rechts KachelX + 1 2565 KachelY + 1 3589 0.79306807 -1.38323601 45.439453 -79.253585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38294977--1.38323601) × R
    0.000286240000000104 × 6371000     		dl = 1823.63504000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38294977--1.38323601) × R
    0.000286240000000104 × 6371000     		dr = 1823.63504000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79306807) × cos(-1.38294977) × R
    0.00153398000000005 × 0.186743768364246 × 6371000     		do = 1825.04434212246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79306807) × cos(-1.38323601) × R
    0.00153398000000005 × 0.186462556064473 × 6371000     		du = 1822.29605809065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38294977)-sin(-1.38323601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186743768364246-0.186462556064473)×R²
    abs(0.79306807-0.79153409)×0.000281212299772987×R²
    0.00153398000000005×0.000281212299772987×6371000²
    0.00153398000000005×0.000281212299772987×40589641000000     		ar = 3325708.90102409m²