Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25640 / 42024
↖ ↑ ↗
← S 45.243953°
W 39.155273°		 ← 430.05 m → S 45.243953°
W 39.149780°		 →
↑
430.11 m
↓
↑
430.11 m
↓
S 45.247821°
W 39.155273°		 ← 430.02 m →
184 961 m²		 S 45.247821°
W 39.149780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391242980957031 y=0.641242980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391242980957031 × 216)
    floor (0.391242980957031 × 65536)
    floor (25640.5)     		tx = 25640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641242980957031 × 216)
    floor (0.641242980957031 × 65536)
    floor (42024.5)     		ty = 42024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25640 / 42024 ti = "16/25640/42024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25640/42024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25640 ÷ 216
    25640 ÷ 65536     		x = 0.3912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42024 ÷ 216
    42024 ÷ 65536     		y = 0.6412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68338844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.88740788576648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68338844} λ = -0.68338844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88740788576648))-π/2
    2×atan(0.411721600176481)-π/2
    2×0.390570186484511-π/2
    0.781140372969022-1.57079632675     		φ = -0.78965595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68338844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.155273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78965595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.243953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25640 KachelY 42024 -0.68338844 -0.78965595 -39.155273 -45.243953
    Oben rechts KachelX + 1 25641 KachelY 42024 -0.68329257 -0.78965595 -39.149780 -45.243953
    Unten links KachelX 25640 KachelY + 1 42025 -0.68338844 -0.78972346 -39.155273 -45.247821
    Unten rechts KachelX + 1 25641 KachelY + 1 42025 -0.68329257 -0.78972346 -39.149780 -45.247821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78965595--0.78972346) × R
    6.75100000000484e-05 × 6371000     		dl = 430.106210000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78965595--0.78972346) × R
    6.75100000000484e-05 × 6371000     		dr = 430.106210000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68338844--0.68329257) × cos(-0.78965595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704089671033564 × 6371000     		do = 430.049360050614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68338844--0.68329257) × cos(-0.78972346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704041729830623 × 6371000     		du = 430.020078150179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78965595)-sin(-0.78972346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704089671033564-0.704041729830623)×R²
    abs(-0.68329257--0.68338844)×4.79412029408266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79412029408266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79412029408266e-05×40589641000000     		ar = 184960.603270927m²