Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2565 / 525
↖ ↑ ↗
← N 78.954560°
E 45.439453°		 ← 1 872.38 m → N 78.954560°
E 45.527344°		 →
↑
1 873.77 m
↓
↑
1 873.77 m
↓
N 78.937709°
E 45.439453°		 ← 1 875.20 m →
3 511 064 m²		 N 78.937709°
E 45.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6263427734375 y=0.1282958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6263427734375 × 212)
    floor (0.6263427734375 × 4096)
    floor (2565.5)     		tx = 2565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1282958984375 × 212)
    floor (0.1282958984375 × 4096)
    floor (525.5)     		ty = 525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2565 / 525 ti = "12/2565/525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2565/525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2565 ÷ 212
    2565 ÷ 4096     		x = 0.626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 525 ÷ 212
    525 ÷ 4096     		y = 0.128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    0.25244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79306807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128173828125 × 2 - 1) × π
    0.74365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33625273988306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79306807} λ = 0.79306807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33625273988306))-π/2
    2×atan(10.3424081644854)-π/2
    2×1.47440667788141-π/2
    2.94881335576282-1.57079632675     		φ = 1.37801703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79306807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37801703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.954560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2565 KachelY 525 0.79306807 1.37801703 45.439453 78.954560
    Oben rechts KachelX + 1 2566 KachelY 525 0.79460205 1.37801703 45.527344 78.954560
    Unten links KachelX 2565 KachelY + 1 526 0.79306807 1.37772292 45.439453 78.937709
    Unten rechts KachelX + 1 2566 KachelY + 1 526 0.79460205 1.37772292 45.527344 78.937709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37801703-1.37772292) × R
    0.000294110000000014 × 6371000     		dl = 1873.77481000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37801703-1.37772292) × R
    0.000294110000000014 × 6371000     		dr = 1873.77481000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79306807-0.79460205) × cos(1.37801703) × R
    0.00153397999999993 × 0.191587443267103 × 6371000     		do = 1872.38151194583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79306807-0.79460205) × cos(1.37772292) × R
    0.00153397999999993 × 0.19187609675018 × 6371000     		du = 1875.20251856221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37801703)-sin(1.37772292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191587443267103-0.19187609675018)×R²
    abs(0.79460205-0.79306807)×0.000288653483076579×R²
    0.00153397999999993×0.000288653483076579×6371000²
    0.00153397999999993×0.000288653483076579×40589641000000     		ar = 3511064.30267515m²