Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2566 / 518
↖ ↑ ↗
← N 79.071812°
E 45.527344°		 ← 1 852.75 m → N 79.071812°
E 45.615234°		 →
↑
1 854.15 m
↓
↑
1 854.15 m
↓
N 79.055138°
E 45.527344°		 ← 1 855.54 m →
3 437 866 m²		 N 79.055138°
E 45.615234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6265869140625 y=0.1265869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6265869140625 × 212)
    floor (0.6265869140625 × 4096)
    floor (2566.5)     		tx = 2566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1265869140625 × 212)
    floor (0.1265869140625 × 4096)
    floor (518.5)     		ty = 518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2566 / 518 ti = "12/2566/518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2566/518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2566 ÷ 212
    2566 ÷ 4096     		x = 0.62646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 518 ÷ 212
    518 ÷ 4096     		y = 0.12646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62646484375 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79460205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    0.7470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34699060539795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79460205} λ = 0.79460205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34699060539795))-π/2
    2×atan(10.4540619412544)-π/2
    2×1.47542989597299-π/2
    2.95085979194598-1.57079632675     		φ = 1.38006347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79460205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38006347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.071812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2566 KachelY 518 0.79460205 1.38006347 45.527344 79.071812
    Oben rechts KachelX + 1 2567 KachelY 518 0.79613603 1.38006347 45.615234 79.071812
    Unten links KachelX 2566 KachelY + 1 519 0.79460205 1.37977244 45.527344 79.055138
    Unten rechts KachelX + 1 2567 KachelY + 1 519 0.79613603 1.37977244 45.615234 79.055138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38006347-1.37977244) × R
    0.000291030000000081 × 6371000     		dl = 1854.15213000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38006347-1.37977244) × R
    0.000291030000000081 × 6371000     		dr = 1854.15213000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79460205-0.79613603) × cos(1.38006347) × R
    0.00153398000000005 × 0.189578512672325 × 6371000     		do = 1852.74826020305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79460205-0.79613603) × cos(1.37977244) × R
    0.00153398000000005 × 0.18986425697514 × 6371000     		du = 1855.54083543977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38006347)-sin(1.37977244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189578512672325-0.18986425697514)×R²
    abs(0.79613603-0.79460205)×0.000285744302814556×R²
    0.00153398000000005×0.000285744302814556×6371000²
    0.00153398000000005×0.000285744302814556×40589641000000     		ar = 3437866.08693874m²