Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25664 / 25664
↖ ↑ ↗
← S 70.844672°
E101.953125°		 ← 400.86 m → S 70.844672°
E101.964111°		 →
↑
400.86 m
↓
↑
400.86 m
↓
S 70.848277°
E101.953125°		 ← 400.78 m →
160 674 m²		 S 70.848277°
E101.964111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783218383789062 y=0.783218383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783218383789062 × 215)
    floor (0.783218383789062 × 32768)
    floor (25664.5)     		tx = 25664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783218383789062 × 215)
    floor (0.783218383789062 × 32768)
    floor (25664.5)     		ty = 25664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25664 / 25664 ti = "15/25664/25664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25664/25664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25664 ÷ 215
    25664 ÷ 32768     		x = 0.783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25664 ÷ 215
    25664 ÷ 32768     		y = 0.783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783203125 × 2 - 1) × π
    0.56640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77941771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783203125 × 2 - 1) × π
    -0.56640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77941771} λ = 1.77941771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77941771389648))-π/2
    2×atan(0.168736371512804)-π/2
    2×0.167161765923175-π/2
    0.33432353184635-1.57079632675     		φ = -1.23647279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77941771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23647279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.844672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25664 KachelY 25664 1.77941771 -1.23647279 101.953125 -70.844672
    Oben rechts KachelX + 1 25665 KachelY 25664 1.77960946 -1.23647279 101.964111 -70.844672
    Unten links KachelX 25664 KachelY + 1 25665 1.77941771 -1.23653571 101.953125 -70.848277
    Unten rechts KachelX + 1 25665 KachelY + 1 25665 1.77960946 -1.23653571 101.964111 -70.848277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23647279--1.23653571) × R
    6.29199999999663e-05 × 6371000     		dl = 400.863319999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23647279--1.23653571) × R
    6.29199999999663e-05 × 6371000     		dr = 400.863319999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77941771-1.77960946) × cos(-1.23647279) × R
    0.000191750000000157 × 0.328130235874851 × 6371000     		do = 400.856775256805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77941771-1.77960946) × cos(-1.23653571) × R
    0.000191750000000157 × 0.32807079894886 × 6371000     		du = 400.784164775115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23647279)-sin(-1.23653571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328130235874851-0.32807079894886)×R²
    abs(1.77960946-1.77941771)×5.94369259910854e-05×R²
    0.000191750000000157×5.94369259910854e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.94369259910854e-05×40589641000000     		ar = 160674.224387617m²