Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25664 / 42176
↖ ↑ ↗
← S 45.828799°
W 39.023438°		 ← 425.60 m → S 45.828799°
W 39.017945°		 →
↑
425.58 m
↓
↑
425.58 m
↓
S 45.832627°
W 39.023438°		 ← 425.57 m →
181 122 m²		 S 45.832627°
W 39.017945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391609191894531 y=0.643562316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391609191894531 × 216)
    floor (0.391609191894531 × 65536)
    floor (25664.5)     		tx = 25664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643562316894531 × 216)
    floor (0.643562316894531 × 65536)
    floor (42176.5)     		ty = 42176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25664 / 42176 ti = "16/25664/42176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25664/42176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25664 ÷ 216
    25664 ÷ 65536     		x = 0.3916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42176 ÷ 216
    42176 ÷ 65536     		y = 0.6435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3916015625 × 2 - 1) × π
    -0.216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68108747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    -0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68108747} λ = -0.68108747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901980703250977))-π/2
    2×atan(0.40576516289158)-π/2
    2×0.38546644381566-π/2
    0.770932887631319-1.57079632675     		φ = -0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68108747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25664 KachelY 42176 -0.68108747 -0.79986344 -39.023438 -45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 25665 KachelY 42176 -0.68099160 -0.79986344 -39.017945 -45.828799
    Unten links KachelX 25664 KachelY + 1 42177 -0.68108747 -0.79993024 -39.023438 -45.832627
    Unten rechts KachelX + 1 25665 KachelY + 1 42177 -0.68099160 -0.79993024 -39.017945 -45.832627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79986344--0.79993024) × R
    6.68000000000335e-05 × 6371000     		dl = 425.582800000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79986344--0.79993024) × R
    6.68000000000335e-05 × 6371000     		dr = 425.582800000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68108747--0.68099160) × cos(-0.79986344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 425.599767459912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68108747--0.68099160) × cos(-0.79993024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.696756750412779 × 6371000     		du = 425.570501817059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79986344)-sin(-0.79993024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.696756750412779)×R²
    abs(-0.68099160--0.68108747)×4.79145855409868e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79145855409868e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79145855409868e-05×40589641000000     		ar = 181121.713305344m²