Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2567 / 505
↖ ↑ ↗
← N 79.286313°
E 45.615234°		 ← 1 816.81 m → N 79.286313°
E 45.703125°		 →
↑
1 818.16 m
↓
↑
1 818.16 m
↓
N 79.269962°
E 45.615234°		 ← 1 819.55 m →
3 305 738 m²		 N 79.269962°
E 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6268310546875 y=0.1234130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6268310546875 × 212)
    floor (0.6268310546875 × 4096)
    floor (2567.5)     		tx = 2567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1234130859375 × 212)
    floor (0.1234130859375 × 4096)
    floor (505.5)     		ty = 505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2567 / 505 ti = "12/2567/505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2567/505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2567 ÷ 212
    2567 ÷ 4096     		x = 0.626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 505 ÷ 212
    505 ÷ 4096     		y = 0.123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626708984375 × 2 - 1) × π
    0.25341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79613603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123291015625 × 2 - 1) × π
    0.75341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36693235563989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79613603} λ = 0.79613603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36693235563989))-π/2
    2×atan(10.6646267711682)-π/2
    2×1.47730176970161-π/2
    2.95460353940321-1.57079632675     		φ = 1.38380721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79613603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.615234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38380721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.286313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2567 KachelY 505 0.79613603 1.38380721 45.615234 79.286313
    Oben rechts KachelX + 1 2568 KachelY 505 0.79767001 1.38380721 45.703125 79.286313
    Unten links KachelX 2567 KachelY + 1 506 0.79613603 1.38352183 45.615234 79.269962
    Unten rechts KachelX + 1 2568 KachelY + 1 506 0.79767001 1.38352183 45.703125 79.269962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38380721-1.38352183) × R
    0.000285380000000002 × 6371000     		dl = 1818.15598000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38380721-1.38352183) × R
    0.000285380000000002 × 6371000     		dr = 1818.15598000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79613603-0.79767001) × cos(1.38380721) × R
    0.00153398000000005 × 0.185901343343195 × 6371000     		do = 1816.81133369707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79613603-0.79767001) × cos(1.38352183) × R
    0.00153398000000005 × 0.186181741143653 × 6371000     		du = 1819.55165763801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38380721)-sin(1.38352183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185901343343195-0.186181741143653)×R²
    abs(0.79767001-0.79613603)×0.000280397800458076×R²
    0.00153398000000005×0.000280397800458076×6371000²
    0.00153398000000005×0.000280397800458076×40589641000000     		ar = 3305737.58150826m²