Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2568 / 1544
↖ ↑ ↗
← N 40.446947°
E 45.703125°		 ← 7 437.31 m → N 40.446947°
E 45.791016°		 →
↑
7 441.01 m
↓
↑
7 441.01 m
↓
N 40.380029°
E 45.703125°		 ← 7 444.71 m →
55 368 640 m²		 N 40.380029°
E 45.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6270751953125 y=0.3770751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6270751953125 × 212)
    floor (0.6270751953125 × 4096)
    floor (2568.5)     		tx = 2568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3770751953125 × 212)
    floor (0.3770751953125 × 4096)
    floor (1544.5)     		ty = 1544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2568 / 1544 ti = "12/2568/1544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2568/1544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2568 ÷ 212
    2568 ÷ 4096     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1544 ÷ 212
    1544 ÷ 4096     		y = 0.376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376953125 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.773126317072266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.773126317072266))-π/2
    2×atan(2.16652893352867)-π/2
    2×1.13836436267397-π/2
    2.27672872534795-1.57079632675     		φ = 0.70593240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70593240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.446947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2568 KachelY 1544 0.79767001 0.70593240 45.703125 40.446947
    Oben rechts KachelX + 1 2569 KachelY 1544 0.79920399 0.70593240 45.791016 40.446947
    Unten links KachelX 2568 KachelY + 1 1545 0.79767001 0.70476445 45.703125 40.380029
    Unten rechts KachelX + 1 2569 KachelY + 1 1545 0.79920399 0.70476445 45.791016 40.380029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70593240-0.70476445) × R
    0.00116795000000003 × 6371000     		dl = 7441.00945000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70593240-0.70476445) × R
    0.00116795000000003 × 6371000     		dr = 7441.00945000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79920399) × cos(0.70593240) × R
    0.00153397999999993 × 0.76100699404595 × 6371000     		do = 7437.31114009689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79920399) × cos(0.70476445) × R
    0.00153397999999993 × 0.761764175000645 × 6371000     		du = 7444.71105940576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70593240)-sin(0.70476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76100699404595-0.761764175000645)×R²
    abs(0.79920399-0.79767001)×0.000757180954694792×R²
    0.00153397999999993×0.000757180954694792×6371000²
    0.00153397999999993×0.000757180954694792×40589641000000     		ar = 55368640.2048675m²