Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2568 / 1545
↖ ↑ ↗
← N 40.380029°
E 45.703125°		 ← 7 444.71 m → N 40.380029°
E 45.791016°		 →
↑
7 448.40 m
↓
↑
7 448.40 m
↓
N 40.313043°
E 45.703125°		 ← 7 452.11 m →
55 478 739 m²		 N 40.313043°
E 45.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6270751953125 y=0.3773193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6270751953125 × 212)
    floor (0.6270751953125 × 4096)
    floor (2568.5)     		tx = 2568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3773193359375 × 212)
    floor (0.3773193359375 × 4096)
    floor (1545.5)     		ty = 1545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2568 / 1545 ti = "12/2568/1545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2568/1545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2568 ÷ 212
    2568 ÷ 4096     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1545 ÷ 212
    1545 ÷ 4096     		y = 0.377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.771592336284424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.771592336284424))-π/2
    2×atan(2.16320806749188)-π/2
    2×1.13778038722538-π/2
    2.27556077445075-1.57079632675     		φ = 0.70476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.380029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2568 KachelY 1545 0.79767001 0.70476445 45.703125 40.380029
    Oben rechts KachelX + 1 2569 KachelY 1545 0.79920399 0.70476445 45.791016 40.380029
    Unten links KachelX 2568 KachelY + 1 1546 0.79767001 0.70359534 45.703125 40.313043
    Unten rechts KachelX + 1 2569 KachelY + 1 1546 0.79920399 0.70359534 45.791016 40.313043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70476445-0.70359534) × R
    0.00116910999999997 × 6371000     		dl = 7448.39980999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70476445-0.70359534) × R
    0.00116910999999997 × 6371000     		dr = 7448.39980999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79920399) × cos(0.70476445) × R
    0.00153397999999993 × 0.761764175000645 × 6371000     		do = 7444.71105940576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79920399) × cos(0.70359534) × R
    0.00153397999999993 × 0.7625210673055 × 6371000     		du = 7452.10815774361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70476445)-sin(0.70359534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761764175000645-0.7625210673055)×R²
    abs(0.79920399-0.79767001)×0.000756892304855206×R²
    0.00153397999999993×0.000756892304855206×6371000²
    0.00153397999999993×0.000756892304855206×40589641000000     		ar = 55478739.0324201m²