Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 257 / 259
↖ ↑ ↗
← S  2.108899°
E  0.703125°		 ← 78.131 km → S  2.108899°
E  1.406250°		 →
↑
78.111 km
↓
↑
78.111 km
↓
S  2.811371°
E  0.703125°		 ← 78.090 km →
6 101.38 km²		 S  2.811371°
E  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5029296875 y=0.5068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5029296875 × 29)
    floor (0.5029296875 × 512)
    floor (257.5)     		tx = 257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5068359375 × 29)
    floor (0.5068359375 × 512)
    floor (259.5)     		ty = 259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 257 / 259 ti = "9/257/259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/257/259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 257 ÷ 29
    257 ÷ 512     		x = 0.501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 259 ÷ 29
    259 ÷ 512     		y = 0.505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501953125 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505859375 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01227185} λ = 0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(0.963853912497098)-π/2
    2×0.766994550800631-π/2
    1.53398910160126-1.57079632675     		φ = -0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 257 KachelY 259 0.01227185 -0.03680723 0.703125 -2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 258 KachelY 259 0.02454369 -0.03680723 1.406250 -2.108899
    Unten links KachelX 257 KachelY + 1 260 0.01227185 -0.04906768 0.703125 -2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 258 KachelY + 1 260 0.02454369 -0.04906768 1.406250 -2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03680723--0.04906768) × R
    0.01226045 × 6371000     		dl = 78111.32695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03680723--0.04906768) × R
    0.01226045 × 6371000     		dr = 78111.32695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01227185-0.02454369) × cos(-0.03680723) × R
    0.01227184 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 78130.9379375211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01227185-0.02454369) × cos(-0.04906768) × R
    0.01227184 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 78089.7922972453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03680723)-sin(-0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.9987964229002)×R²
    abs(0.02454369-0.01227185)×0.000526267481529064×R²
    0.01227184×0.000526267481529064×6371000²
    0.01227184×0.000526267481529064×40589641000000     		ar = 6101380697.32704m²