Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2570 / 2570
↖ ↑ ↗
← S 41.640078°
E 45.878906°		 ← 7 303.68 m → S 41.640078°
E 45.966797°		 →
↑
7 299.96 m
↓
↑
7 299.96 m
↓
S 41.705729°
E 45.878906°		 ← 7 296.23 m →
53 289 371 m²		 S 41.705729°
E 45.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6275634765625 y=0.6275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6275634765625 × 212)
    floor (0.6275634765625 × 4096)
    floor (2570.5)     		tx = 2570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6275634765625 × 212)
    floor (0.6275634765625 × 4096)
    floor (2570.5)     		ty = 2570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2570 / 2570 ti = "12/2570/2570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2570/2570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2570 ÷ 212
    2570 ÷ 4096     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2570 ÷ 212
    2570 ÷ 4096     		y = 0.62744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.800737971253418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800737971253418))-π/2
    2×atan(0.448997494580913)-π/2
    2×0.422019929105416-π/2
    0.844039858210832-1.57079632675     		φ = -0.72675647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72675647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.640078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2570 KachelY 2570 0.80073797 -0.72675647 45.878906 -41.640078
    Oben rechts KachelX + 1 2571 KachelY 2570 0.80227195 -0.72675647 45.966797 -41.640078
    Unten links KachelX 2570 KachelY + 1 2571 0.80073797 -0.72790228 45.878906 -41.705729
    Unten rechts KachelX + 1 2571 KachelY + 1 2571 0.80227195 -0.72790228 45.966797 -41.705729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72675647--0.72790228) × R
    0.00114581000000002 × 6371000     		dl = 7299.95551000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72675647--0.72790228) × R
    0.00114581000000002 × 6371000     		dr = 7299.95551000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80227195) × cos(-0.72675647) × R
    0.00153397999999993 × 0.747333490424122 × 6371000     		do = 7303.68017269919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80227195) × cos(-0.72790228) × R
    0.00153397999999993 × 0.746571667546648 × 6371000     		du = 7296.23488794131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72675647)-sin(-0.72790228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747333490424122-0.746571667546648)×R²
    abs(0.80227195-0.80073797)×0.000761822877473506×R²
    0.00153397999999993×0.000761822877473506×6371000²
    0.00153397999999993×0.000761822877473506×40589641000000     		ar = 53289371.026439m²