Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2572 / 1548
↖ ↑ ↗
← N 40.178873°
E 46.054687°		 ← 7 466.89 m → N 40.178873°
E 46.142578°		 →
↑
7 470.57 m
↓
↑
7 470.57 m
↓
N 40.111689°
E 46.054687°		 ← 7 474.28 m →
55 809 564 m²		 N 40.111689°
E 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6280517578125 y=0.3780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6280517578125 × 212)
    floor (0.6280517578125 × 4096)
    floor (2572.5)     		tx = 2572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3780517578125 × 212)
    floor (0.3780517578125 × 4096)
    floor (1548.5)     		ty = 1548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2572 / 1548 ti = "12/2572/1548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2572/1548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2572 ÷ 212
    2572 ÷ 4096     		x = 0.6279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1548 ÷ 212
    1548 ÷ 4096     		y = 0.3779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6279296875 × 2 - 1) × π
    0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80380593} λ = 0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.766990393920898))-π/2
    2×atan(2.1532759796213)-π/2
    2×1.13602497792759-π/2
    2.27204995585519-1.57079632675     		φ = 0.70125363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70125363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.178873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2572 KachelY 1548 0.80380593 0.70125363 46.054687 40.178873
    Oben rechts KachelX + 1 2573 KachelY 1548 0.80533991 0.70125363 46.142578 40.178873
    Unten links KachelX 2572 KachelY + 1 1549 0.80380593 0.70008104 46.054687 40.111689
    Unten rechts KachelX + 1 2573 KachelY + 1 1549 0.80533991 0.70008104 46.142578 40.111689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70125363-0.70008104) × R
    0.00117258999999992 × 6371000     		dl = 7470.57088999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70125363-0.70008104) × R
    0.00117258999999992 × 6371000     		dr = 7470.57088999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80380593-0.80533991) × cos(0.70125363) × R
    0.00153398000000005 × 0.764033975868385 × 6371000     		do = 7466.89379282599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80380593-0.80533991) × cos(0.70008104) × R
    0.00153398000000005 × 0.764789977371628 × 6371000     		du = 7474.28218537165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70125363)-sin(0.70008104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764033975868385-0.764789977371628)×R²
    abs(0.80533991-0.80380593)×0.000756001503243842×R²
    0.00153398000000005×0.000756001503243842×6371000²
    0.00153398000000005×0.000756001503243842×40589641000000     		ar = 55809563.5572289m²