Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2572 / 3596
↖ ↑ ↗
← S 79.367701°
E 46.054687°		 ← 1 803.17 m → S 79.367701°
E 46.142578°		 →
↑
1 801.78 m
↓
↑
1 801.78 m
↓
S 79.383905°
E 46.054687°		 ← 1 800.45 m →
3 246 471 m²		 S 79.383905°
E 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6280517578125 y=0.8780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6280517578125 × 212)
    floor (0.6280517578125 × 4096)
    floor (2572.5)     		tx = 2572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8780517578125 × 212)
    floor (0.8780517578125 × 4096)
    floor (3596.5)     		ty = 3596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2572 / 3596 ti = "12/2572/3596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2572/3596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2572 ÷ 212
    2572 ÷ 4096     		x = 0.6279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3596 ÷ 212
    3596 ÷ 4096     		y = 0.8779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6279296875 × 2 - 1) × π
    0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8779296875 × 2 - 1) × π
    -0.755859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3746022595791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80380593} λ = 0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3746022595791))-π/2
    2×atan(0.0930514921910545)-π/2
    2×0.0927843142499606-π/2
    0.185568628499921-1.57079632675     		φ = -1.38522770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38522770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.367701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2572 KachelY 3596 0.80380593 -1.38522770 46.054687 -79.367701
    Oben rechts KachelX + 1 2573 KachelY 3596 0.80533991 -1.38522770 46.142578 -79.367701
    Unten links KachelX 2572 KachelY + 1 3597 0.80380593 -1.38551051 46.054687 -79.383905
    Unten rechts KachelX + 1 2573 KachelY + 1 3597 0.80533991 -1.38551051 46.142578 -79.383905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38522770--1.38551051) × R
    0.000282810000000078 × 6371000     		dl = 1801.7825100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38522770--1.38551051) × R
    0.000282810000000078 × 6371000     		dr = 1801.7825100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80380593-0.80533991) × cos(-1.38522770) × R
    0.00153398000000005 × 0.184505427649398 × 6371000     		do = 1803.16906835478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80380593-0.80533991) × cos(-1.38551051) × R
    0.00153398000000005 × 0.184227465699549 × 6371000     		du = 1800.45254994915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38522770)-sin(-1.38551051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184505427649398-0.184227465699549)×R²
    abs(0.80533991-0.80380593)×0.000277961949848859×R²
    0.00153398000000005×0.000277961949848859×6371000²
    0.00153398000000005×0.000277961949848859×40589641000000     		ar = 3246471.22389415m²