Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25728 / 9344
↖ ↑ ↗
← N 60.930432°
E102.656250°		 ← 593.56 m → N 60.930432°
E102.667236°		 →
↑
593.65 m
↓
↑
593.65 m
↓
N 60.925094°
E102.656250°		 ← 593.66 m →
352 396 m²		 N 60.925094°
E102.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785171508789062 y=0.285171508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785171508789062 × 215)
    floor (0.785171508789062 × 32768)
    floor (25728.5)     		tx = 25728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285171508789062 × 215)
    floor (0.285171508789062 × 32768)
    floor (9344.5)     		ty = 9344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25728 / 9344 ti = "15/25728/9344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25728/9344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25728 ÷ 215
    25728 ÷ 32768     		x = 0.78515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9344 ÷ 215
    9344 ÷ 32768     		y = 0.28515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78515625 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79168956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28515625 × 2 - 1) × π
    0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79168956} λ = 1.79168956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34990309330078))-π/2
    2×atan(3.85705173843309)-π/2
    2×1.31711649169017-π/2
    2.63423298338034-1.57079632675     		φ = 1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79168956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25728 KachelY 9344 1.79168956 1.06343666 102.656250 60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 25729 KachelY 9344 1.79188131 1.06343666 102.667236 60.930432
    Unten links KachelX 25728 KachelY + 1 9345 1.79168956 1.06334348 102.656250 60.925094
    Unten rechts KachelX + 1 25729 KachelY + 1 9345 1.79188131 1.06334348 102.667236 60.925094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06343666-1.06334348) × R
    9.3180000000137e-05 × 6371000     		dl = 593.649780000873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06343666-1.06334348) × R
    9.3180000000137e-05 × 6371000     		dr = 593.649780000873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79168956-1.79188131) × cos(1.06343666) × R
    0.000191749999999935 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 593.559342570416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79168956-1.79188131) × cos(1.06334348) × R
    0.000191749999999935 × 0.485952651673278 × 6371000     		du = 593.658832925454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06343666)-sin(1.06334348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.485952651673278)×R²
    abs(1.79188131-1.79168956)×8.14400446267349e-05×R²
    0.000191749999999935×8.14400446267349e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.14400446267349e-05×40589641000000     		ar = 352395.904603219m²