Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25729 / 42113
↖ ↑ ↗
← S 45.587134°
W 38.666382°		 ← 427.44 m → S 45.587134°
W 38.660889°		 →
↑
427.43 m
↓
↑
427.43 m
↓
S 45.590978°
W 38.666382°		 ← 427.41 m →
182 696 m²		 S 45.590978°
W 38.660889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392601013183594 y=0.642601013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392601013183594 × 216)
    floor (0.392601013183594 × 65536)
    floor (25729.5)     		tx = 25729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642601013183594 × 216)
    floor (0.642601013183594 × 65536)
    floor (42113.5)     		ty = 42113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25729 / 42113 ti = "16/25729/42113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25729/42113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25729 ÷ 216
    25729 ÷ 65536     		x = 0.392593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42113 ÷ 216
    42113 ÷ 65536     		y = 0.642593383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392593383789062 × 2 - 1) × π
    -0.214813232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.67485567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642593383789062 × 2 - 1) × π
    -0.285186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.895940653898849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67485567} λ = -0.67485567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895940653898849))-π/2
    2×atan(0.4082234210275)-π/2
    2×0.387575369809935-π/2
    0.775150739619869-1.57079632675     		φ = -0.79564559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67485567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.666382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79564559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.587134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25729 KachelY 42113 -0.67485567 -0.79564559 -38.666382 -45.587134
    Oben rechts KachelX + 1 25730 KachelY 42113 -0.67475980 -0.79564559 -38.660889 -45.587134
    Unten links KachelX 25729 KachelY + 1 42114 -0.67485567 -0.79571268 -38.666382 -45.590978
    Unten rechts KachelX + 1 25730 KachelY + 1 42114 -0.67475980 -0.79571268 -38.660889 -45.590978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79564559--0.79571268) × R
    6.70899999999364e-05 × 6371000     		dl = 427.430389999595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79564559--0.79571268) × R
    6.70899999999364e-05 × 6371000     		dr = 427.430389999595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67485567--0.67475980) × cos(-0.79564559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.699823756933748 × 6371000     		do = 427.443791890577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67485567--0.67475980) × cos(-0.79571268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.699775831928357 × 6371000     		du = 427.414519883407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79564559)-sin(-0.79571268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699823756933748-0.699775831928357)×R²
    abs(-0.67475980--0.67485567)×4.79250053907476e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79250053907476e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79250053907476e-05×40589641000000     		ar = 182696.21086644m²