Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2576 / 1552
↖ ↑ ↗
← N 39.909736°
E 46.406250°		 ← 7 496.43 m → N 39.909736°
E 46.494141°		 →
↑
7 500.13 m
↓
↑
7 500.13 m
↓
N 39.842286°
E 46.406250°		 ← 7 503.81 m →
56 251 880 m²		 N 39.842286°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6290283203125 y=0.3790283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6290283203125 × 212)
    floor (0.6290283203125 × 4096)
    floor (2576.5)     		tx = 2576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3790283203125 × 212)
    floor (0.3790283203125 × 4096)
    floor (1552.5)     		ty = 1552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2576 / 1552 ti = "12/2576/1552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2576/1552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2576 ÷ 212
    2576 ÷ 4096     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1552 ÷ 212
    1552 ÷ 4096     		y = 0.37890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37890625 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.760854470769531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760854470769531))-π/2
    2×atan(2.14010409584623)-π/2
    2×1.13367631383669-π/2
    2.26735262767337-1.57079632675     		φ = 0.69655630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69655630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.909736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2576 KachelY 1552 0.80994186 0.69655630 46.406250 39.909736
    Oben rechts KachelX + 1 2577 KachelY 1552 0.81147584 0.69655630 46.494141 39.909736
    Unten links KachelX 2576 KachelY + 1 1553 0.80994186 0.69537907 46.406250 39.842286
    Unten rechts KachelX + 1 2577 KachelY + 1 1553 0.81147584 0.69537907 46.494141 39.842286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69655630-0.69537907) × R
    0.00117723000000003 × 6371000     		dl = 7500.13233000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69655630-0.69537907) × R
    0.00117723000000003 × 6371000     		dr = 7500.13233000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(0.69655630) × R
    0.00153397999999993 × 0.767056140195237 × 6371000     		do = 7496.42936423433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(0.69537907) × R
    0.00153397999999993 × 0.76781089570694 × 6371000     		du = 7503.80557972139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69655630)-sin(0.69537907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767056140195237-0.76781089570694)×R²
    abs(0.81147584-0.80994186)×0.000754755511703675×R²
    0.00153397999999993×0.000754755511703675×6371000²
    0.00153397999999993×0.000754755511703675×40589641000000     		ar = 56251880.0268657m²