Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2576 / 2544
↖ ↑ ↗
← S 39.909736°
E 46.406250°		 ← 7 496.43 m → S 39.909736°
E 46.494141°		 →
↑
7 492.74 m
↓
↑
7 492.74 m
↓
S 39.977120°
E 46.406250°		 ← 7 489.05 m →
56 141 172 m²		 S 39.977120°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6290283203125 y=0.6212158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6290283203125 × 212)
    floor (0.6290283203125 × 4096)
    floor (2576.5)     		tx = 2576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6212158203125 × 212)
    floor (0.6212158203125 × 4096)
    floor (2544.5)     		ty = 2544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2576 / 2544 ti = "12/2576/2544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2576/2544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2576 ÷ 212
    2576 ÷ 4096     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2544 ÷ 212
    2544 ÷ 4096     		y = 0.62109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62109375 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.760854470769531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760854470769531))-π/2
    2×atan(0.467266990395897)-π/2
    2×0.43712001295821-π/2
    0.87424002591642-1.57079632675     		φ = -0.69655630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69655630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.909736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2576 KachelY 2544 0.80994186 -0.69655630 46.406250 -39.909736
    Oben rechts KachelX + 1 2577 KachelY 2544 0.81147584 -0.69655630 46.494141 -39.909736
    Unten links KachelX 2576 KachelY + 1 2545 0.80994186 -0.69773237 46.406250 -39.977120
    Unten rechts KachelX + 1 2577 KachelY + 1 2545 0.81147584 -0.69773237 46.494141 -39.977120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69655630--0.69773237) × R
    0.00117606999999997 × 6371000     		dl = 7492.74196999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69655630--0.69773237) × R
    0.00117606999999997 × 6371000     		dr = 7492.74196999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(-0.69655630) × R
    0.00153397999999993 × 0.767056140195237 × 6371000     		do = 7496.42936423433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(-0.69773237) × R
    0.00153397999999993 × 0.766301066922434 × 6371000     		du = 7489.05004327231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69655630)-sin(-0.69773237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767056140195237-0.766301066922434)×R²
    abs(0.81147584-0.80994186)×0.000755073272803219×R²
    0.00153397999999993×0.000755073272803219×6371000²
    0.00153397999999993×0.000755073272803219×40589641000000     		ar = 56141171.7195239m²