Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2576 / 3600
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
E 46.406250°		 ← 1 792.33 m → S 79.432371°
E 46.494141°		 →
↑
1 791.02 m
↓
↑
1 791.02 m
↓
S 79.448478°
E 46.406250°		 ← 1 789.63 m →
3 207 666 m²		 S 79.448478°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6290283203125 y=0.8790283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6290283203125 × 212)
    floor (0.6290283203125 × 4096)
    floor (2576.5)     		tx = 2576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8790283203125 × 212)
    floor (0.8790283203125 × 4096)
    floor (3600.5)     		ty = 3600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2576 / 3600 ti = "12/2576/3600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2576/3600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2576 ÷ 212
    2576 ÷ 4096     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3600 ÷ 212
    3600 ÷ 4096     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2576 KachelY 3600 0.80994186 -1.38635640 46.406250 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 2577 KachelY 3600 0.81147584 -1.38635640 46.494141 -79.432371
    Unten links KachelX 2576 KachelY + 1 3601 0.80994186 -1.38663752 46.406250 -79.448478
    Unten rechts KachelX + 1 2577 KachelY + 1 3601 0.81147584 -1.38663752 46.494141 -79.448478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38663752) × R
    0.000281120000000135 × 6371000     		dl = 1791.01552000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38663752) × R
    0.000281120000000135 × 6371000     		dr = 1791.01552000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(-1.38635640) × R
    0.00153397999999993 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 1792.3265339492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(-1.38663752) × R
    0.00153397999999993 × 0.183119629249642 × 6371000     		du = 1789.62567919125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38663752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.183119629249642)×R²
    abs(0.81147584-0.80994186)×0.000276359200520992×R²
    0.00153397999999993×0.000276359200520992×6371000²
    0.00153397999999993×0.000276359200520992×40589641000000     		ar = 3207666.02394333m²