Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2577 / 3601
↖ ↑ ↗
← S 79.448478°
E 46.494141°		 ← 1 789.63 m → S 79.448478°
E 46.582031°		 →
↑
1 788.28 m
↓
↑
1 788.28 m
↓
S 79.464560°
E 46.494141°		 ← 1 786.93 m →
3 197 933 m²		 S 79.464560°
E 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6292724609375 y=0.8792724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6292724609375 × 212)
    floor (0.6292724609375 × 4096)
    floor (2577.5)     		tx = 2577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8792724609375 × 212)
    floor (0.8792724609375 × 4096)
    floor (3601.5)     		ty = 3601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2577 / 3601 ti = "12/2577/3601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2577/3601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2577 ÷ 212
    2577 ÷ 4096     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3601 ÷ 212
    3601 ÷ 4096     		y = 0.879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.75830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38227216351831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38227216351831))-π/2
    2×atan(0.0923405261903686)-π/2
    2×0.09207940524392-π/2
    0.18415881048784-1.57079632675     		φ = -1.38663752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38663752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.448478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2577 KachelY 3601 0.81147584 -1.38663752 46.494141 -79.448478
    Oben rechts KachelX + 1 2578 KachelY 3601 0.81300982 -1.38663752 46.582031 -79.448478
    Unten links KachelX 2577 KachelY + 1 3602 0.81147584 -1.38691821 46.494141 -79.464560
    Unten rechts KachelX + 1 2578 KachelY + 1 3602 0.81300982 -1.38691821 46.582031 -79.464560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38663752--1.38691821) × R
    0.000280689999999861 × 6371000     		dl = 1788.27598999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38663752--1.38691821) × R
    0.000280689999999861 × 6371000     		dr = 1788.27598999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81300982) × cos(-1.38663752) × R
    0.00153398000000005 × 0.183119629249642 × 6371000     		do = 1789.62567919138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81300982) × cos(-1.38691821) × R
    0.00153398000000005 × 0.182843678328536 × 6371000     		du = 1786.92881454267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38663752)-sin(-1.38691821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183119629249642-0.182843678328536)×R²
    abs(0.81300982-0.81147584)×0.000275950921105661×R²
    0.00153398000000005×0.000275950921105661×6371000²
    0.00153398000000005×0.000275950921105661×40589641000000     		ar = 3197933.28502872m²