Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2577 / 526
↖ ↑ ↗
← N 78.937709°
E 46.494141°		 ← 1 875.20 m → N 78.937709°
E 46.582031°		 →
↑
1 876.64 m
↓
↑
1 876.64 m
↓
N 78.920832°
E 46.494141°		 ← 1 878.03 m →
3 521 734 m²		 N 78.920832°
E 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6292724609375 y=0.1285400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6292724609375 × 212)
    floor (0.6292724609375 × 4096)
    floor (2577.5)     		tx = 2577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1285400390625 × 212)
    floor (0.1285400390625 × 4096)
    floor (526.5)     		ty = 526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2577 / 526 ti = "12/2577/526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2577/526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2577 ÷ 212
    2577 ÷ 4096     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 526 ÷ 212
    526 ÷ 4096     		y = 0.12841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    0.7431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33471875909521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33471875909521))-π/2
    2×atan(10.3265552711865)-π/2
    2×1.47425962148049-π/2
    2.94851924296098-1.57079632675     		φ = 1.37772292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37772292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.937709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2577 KachelY 526 0.81147584 1.37772292 46.494141 78.937709
    Oben rechts KachelX + 1 2578 KachelY 526 0.81300982 1.37772292 46.582031 78.937709
    Unten links KachelX 2577 KachelY + 1 527 0.81147584 1.37742836 46.494141 78.920832
    Unten rechts KachelX + 1 2578 KachelY + 1 527 0.81300982 1.37742836 46.582031 78.920832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37772292-1.37742836) × R
    0.000294560000000166 × 6371000     		dl = 1876.64176000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37772292-1.37742836) × R
    0.000294560000000166 × 6371000     		dr = 1876.64176000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81300982) × cos(1.37772292) × R
    0.00153398000000005 × 0.19187609675018 × 6371000     		do = 1875.20251856235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81300982) × cos(1.37742836) × R
    0.00153398000000005 × 0.192165175249029 × 6371000     		du = 1878.02767885217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37772292)-sin(1.37742836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19187609675018-0.192165175249029)×R²
    abs(0.81300982-0.81147584)×0.000289078498849488×R²
    0.00153398000000005×0.000289078498849488×6371000²
    0.00153398000000005×0.000289078498849488×40589641000000     		ar = 3521734.28714791m²