Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 258 / 258
↖ ↑ ↗
← S  1.406109°
E  1.406250°		 ← 78.160 km → S  1.406109°
E  2.109375°		 →
↑
78.147 km
↓
↑
78.147 km
↓
S  2.108899°
E  1.406250°		 ← 78.131 km →
6 106.90 km²		 S  2.108899°
E  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5048828125 y=0.5048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5048828125 × 29)
    floor (0.5048828125 × 512)
    floor (258.5)     		tx = 258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5048828125 × 29)
    floor (0.5048828125 × 512)
    floor (258.5)     		ty = 258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 258 / 258 ti = "9/258/258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/258/258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 258 ÷ 29
    258 ÷ 512     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 258 ÷ 29
    258 ÷ 512     		y = 0.50390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50390625 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0245436926054688))-π/2
    2×atan(0.975755054706375)-π/2
    2×0.773127548987936-π/2
    1.54625509797587-1.57079632675     		φ = -0.02454123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02454123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.406109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 258 KachelY 258 0.02454369 -0.02454123 1.406250 -1.406109
    Oben rechts KachelX + 1 259 KachelY 258 0.03681554 -0.02454123 2.109375 -1.406109
    Unten links KachelX 258 KachelY + 1 259 0.02454369 -0.03680723 1.406250 -2.108899
    Unten rechts KachelX + 1 259 KachelY + 1 259 0.03681554 -0.03680723 2.109375 -2.108899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02454123--0.03680723) × R
    0.012266 × 6371000     		dl = 78146.686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02454123--0.03680723) × R
    0.012266 × 6371000     		dr = 78146.686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.03681554) × cos(-0.02454123) × R
    0.01227185 × 0.999698879128554 × 6371000     		do = 78160.4135289308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.03681554) × cos(-0.03680723) × R
    0.01227185 × 0.999322690381729 × 6371000     		du = 78131.0016043697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02454123)-sin(-0.03680723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999698879128554-0.999322690381729)×R²
    abs(0.03681554-0.02454369)×0.000376188746824435×R²
    0.01227185×0.000376188746824435×6371000²
    0.01227185×0.000376188746824435×40589641000000     		ar = 6106904639.38813m²