Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2580 / 3604
↖ ↑ ↗
← S 79.496652°
E 46.757813°		 ← 1 781.55 m → S 79.496652°
E 46.845703°		 →
↑
1 780.18 m
↓
↑
1 780.18 m
↓
S 79.512661°
E 46.757813°		 ← 1 778.86 m →
3 169 093 m²		 S 79.512661°
E 46.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6300048828125 y=0.8800048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6300048828125 × 212)
    floor (0.6300048828125 × 4096)
    floor (2580.5)     		tx = 2580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8800048828125 × 212)
    floor (0.8800048828125 × 4096)
    floor (3604.5)     		ty = 3604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2580 / 3604 ti = "12/2580/3604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2580/3604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2580 ÷ 212
    2580 ÷ 4096     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3604 ÷ 212
    3604 ÷ 4096     		y = 0.8798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8798828125 × 2 - 1) × π
    -0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38687410588184))-π/2
    2×atan(0.0919165567008311)-π/2
    2×0.0916590039868273-π/2
    0.183318007973655-1.57079632675     		φ = -1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2580 KachelY 3604 0.81607778 -1.38747832 46.757813 -79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 2581 KachelY 3604 0.81761176 -1.38747832 46.845703 -79.496652
    Unten links KachelX 2580 KachelY + 1 3605 0.81607778 -1.38775774 46.757813 -79.512661
    Unten rechts KachelX + 1 2581 KachelY + 1 3605 0.81761176 -1.38775774 46.845703 -79.512661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38747832--1.38775774) × R
    0.00027942000000003 × 6371000     		dl = 1780.18482000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38747832--1.38775774) × R
    0.00027942000000003 × 6371000     		dr = 1780.18482000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.81761176) × cos(-1.38747832) × R
    0.00153398000000005 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 1781.54686682539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.81761176) × cos(-1.38775774) × R
    0.00153398000000005 × 0.182018236788377 × 6371000     		du = 1778.86178544812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38747832)-sin(-1.38775774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.182018236788377)×R²
    abs(0.81761176-0.81607778)×0.000274745222996642×R²
    0.00153398000000005×0.000274745222996642×6371000²
    0.00153398000000005×0.000274745222996642×40589641000000     		ar = 3169092.73850599m²