Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2584 / 3576
↖ ↑ ↗
← S 79.038438°
E 47.109375°		 ← 1 858.34 m → S 79.038438°
E 47.197265°		 →
↑
1 856.96 m
↓
↑
1 856.96 m
↓
S 79.055138°
E 47.109375°		 ← 1 855.54 m →
3 448 253 m²		 S 79.055138°
E 47.197265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6309814453125 y=0.8731689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6309814453125 × 212)
    floor (0.6309814453125 × 4096)
    floor (2584.5)     		tx = 2584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8731689453125 × 212)
    floor (0.8731689453125 × 4096)
    floor (3576.5)     		ty = 3576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2584 / 3576 ti = "12/2584/3576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2584/3576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2584 ÷ 212
    2584 ÷ 4096     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3576 ÷ 212
    3576 ÷ 4096     		y = 0.873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.873046875 × 2 - 1) × π
    -0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.34392264382227))-π/2
    2×atan(0.0959505193505618)-π/2
    2×0.0956576790560577-π/2
    0.191315358112115-1.57079632675     		φ = -1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2584 KachelY 3576 0.82221370 -1.37948097 47.109375 -79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 2585 KachelY 3576 0.82374768 -1.37948097 47.197265 -79.038438
    Unten links KachelX 2584 KachelY + 1 3577 0.82221370 -1.37977244 47.109375 -79.055138
    Unten rechts KachelX + 1 2585 KachelY + 1 3577 0.82374768 -1.37977244 47.197265 -79.055138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37948097--1.37977244) × R
    0.000291470000000071 × 6371000     		dl = 1856.95537000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37948097--1.37977244) × R
    0.000291470000000071 × 6371000     		dr = 1856.95537000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.82374768) × cos(-1.37948097) × R
    0.00153397999999993 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 1858.33747517346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.82374768) × cos(-1.37977244) × R
    0.00153397999999993 × 0.18986425697514 × 6371000     		du = 1855.54083543963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37948097)-sin(-1.37977244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.18986425697514)×R²
    abs(0.82374768-0.82221370)×0.000286160193809032×R²
    0.00153397999999993×0.000286160193809032×6371000²
    0.00153397999999993×0.000286160193809032×40589641000000     		ar = 3448253.16062219m²