Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2584 / 505
↖ ↑ ↗
← N 79.286313°
E 47.109375°		 ← 1 816.81 m → N 79.286313°
E 47.197265°		 →
↑
1 818.16 m
↓
↑
1 818.16 m
↓
N 79.269962°
E 47.109375°		 ← 1 819.55 m →
3 305 738 m²		 N 79.269962°
E 47.197265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6309814453125 y=0.1234130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6309814453125 × 212)
    floor (0.6309814453125 × 4096)
    floor (2584.5)     		tx = 2584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1234130859375 × 212)
    floor (0.1234130859375 × 4096)
    floor (505.5)     		ty = 505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2584 / 505 ti = "12/2584/505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2584/505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2584 ÷ 212
    2584 ÷ 4096     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 505 ÷ 212
    505 ÷ 4096     		y = 0.123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123291015625 × 2 - 1) × π
    0.75341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36693235563989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36693235563989))-π/2
    2×atan(10.6646267711682)-π/2
    2×1.47730176970161-π/2
    2.95460353940321-1.57079632675     		φ = 1.38380721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38380721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.286313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2584 KachelY 505 0.82221370 1.38380721 47.109375 79.286313
    Oben rechts KachelX + 1 2585 KachelY 505 0.82374768 1.38380721 47.197265 79.286313
    Unten links KachelX 2584 KachelY + 1 506 0.82221370 1.38352183 47.109375 79.269962
    Unten rechts KachelX + 1 2585 KachelY + 1 506 0.82374768 1.38352183 47.197265 79.269962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38380721-1.38352183) × R
    0.000285380000000002 × 6371000     		dl = 1818.15598000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38380721-1.38352183) × R
    0.000285380000000002 × 6371000     		dr = 1818.15598000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.82374768) × cos(1.38380721) × R
    0.00153397999999993 × 0.185901343343195 × 6371000     		do = 1816.81133369694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.82374768) × cos(1.38352183) × R
    0.00153397999999993 × 0.186181741143653 × 6371000     		du = 1819.55165763788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38380721)-sin(1.38352183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185901343343195-0.186181741143653)×R²
    abs(0.82374768-0.82221370)×0.000280397800458076×R²
    0.00153397999999993×0.000280397800458076×6371000²
    0.00153397999999993×0.000280397800458076×40589641000000     		ar = 3305737.58150802m²