Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2584 / 552
↖ ↑ ↗
← N 78.490552°
E 47.109375°		 ← 1 950 m → N 78.490552°
E 47.197265°		 →
↑
1 951.50 m
↓
↑
1 951.50 m
↓
N 78.473001°
E 47.109375°		 ← 1 952.93 m →
3 808 288 m²		 N 78.473001°
E 47.197265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6309814453125 y=0.1348876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6309814453125 × 212)
    floor (0.6309814453125 × 4096)
    floor (2584.5)     		tx = 2584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1348876953125 × 212)
    floor (0.1348876953125 × 4096)
    floor (552.5)     		ty = 552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2584 / 552 ti = "12/2584/552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2584/552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2584 ÷ 212
    2584 ÷ 4096     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 552 ÷ 212
    552 ÷ 4096     		y = 0.134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134765625 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29483525861133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29483525861133))-π/2
    2×atan(9.92280118158074)-π/2
    2×1.47035744249174-π/2
    2.94071488498349-1.57079632675     		φ = 1.36991856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36991856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.490552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2584 KachelY 552 0.82221370 1.36991856 47.109375 78.490552
    Oben rechts KachelX + 1 2585 KachelY 552 0.82374768 1.36991856 47.197265 78.490552
    Unten links KachelX 2584 KachelY + 1 553 0.82221370 1.36961225 47.109375 78.473001
    Unten rechts KachelX + 1 2585 KachelY + 1 553 0.82374768 1.36961225 47.197265 78.473001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36991856-1.36961225) × R
    0.00030630999999981 × 6371000     		dl = 1951.50100999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36991856-1.36961225) × R
    0.00030630999999981 × 6371000     		dr = 1951.50100999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.82374768) × cos(1.36991856) × R
    0.00153397999999993 × 0.199529524048583 × 6371000     		do = 1949.9993608405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.82374768) × cos(1.36961225) × R
    0.00153397999999993 × 0.19982966534522 × 6371000     		du = 1952.93263770465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36991856)-sin(1.36961225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199529524048583-0.19982966534522)×R²
    abs(0.82374768-0.82221370)×0.000300141296637579×R²
    0.00153397999999993×0.000300141296637579×6371000²
    0.00153397999999993×0.000300141296637579×40589641000000     		ar = 3808287.89833773m²