Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25855 / 42239
↖ ↑ ↗
← S 46.069420°
W 37.974243°		 ← 423.76 m → S 46.069420°
W 37.968750°		 →
↑
423.74 m
↓
↑
423.74 m
↓
S 46.073231°
W 37.974243°		 ← 423.73 m →
179 554 m²		 S 46.073231°
W 37.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394523620605469 y=0.644523620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394523620605469 × 216)
    floor (0.394523620605469 × 65536)
    floor (25855.5)     		tx = 25855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644523620605469 × 216)
    floor (0.644523620605469 × 65536)
    floor (42239.5)     		ty = 42239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25855 / 42239 ti = "16/25855/42239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25855/42239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25855 ÷ 216
    25855 ÷ 65536     		x = 0.394515991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42239 ÷ 216
    42239 ÷ 65536     		y = 0.644515991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394515991210938 × 2 - 1) × π
    -0.210968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.66277557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644515991210938 × 2 - 1) × π
    -0.289031982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.908020752603104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66277557} λ = -0.66277557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908020752603104))-π/2
    2×atan(0.403321708004939)-π/2
    2×0.383366634500823-π/2
    0.766733269001646-1.57079632675     		φ = -0.80406306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66277557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.974243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80406306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.069420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25855 KachelY 42239 -0.66277557 -0.80406306 -37.974243 -46.069420
    Oben rechts KachelX + 1 25856 KachelY 42239 -0.66267970 -0.80406306 -37.968750 -46.069420
    Unten links KachelX 25855 KachelY + 1 42240 -0.66277557 -0.80412957 -37.974243 -46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 25856 KachelY + 1 42240 -0.66267970 -0.80412957 -37.968750 -46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80406306--0.80412957) × R
    6.65099999999086e-05 × 6371000     		dl = 423.735209999418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80406306--0.80412957) × R
    6.65099999999086e-05 × 6371000     		dr = 423.735209999418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66277557--0.66267970) × cos(-0.80406306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693786305759581 × 6371000     		do = 423.756190551423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66277557--0.66267970) × cos(-0.80412957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 423.726933348359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80406306)-sin(-0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693786305759581-0.693738404991914)×R²
    abs(-0.66267970--0.66277557)×4.79007676670307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79007676670307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79007676670307e-05×40589641000000     		ar = 179554.219804159m²