Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25858 / 42242
↖ ↑ ↗
← S 46.080851°
W 37.957764°		 ← 423.67 m → S 46.080851°
W 37.952271°		 →
↑
423.67 m
↓
↑
423.67 m
↓
S 46.084662°
W 37.957764°		 ← 423.64 m →
179 490 m²		 S 46.084662°
W 37.952271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394569396972656 y=0.644569396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394569396972656 × 216)
    floor (0.394569396972656 × 65536)
    floor (25858.5)     		tx = 25858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644569396972656 × 216)
    floor (0.644569396972656 × 65536)
    floor (42242.5)     		ty = 42242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25858 / 42242 ti = "16/25858/42242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25858/42242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25858 ÷ 216
    25858 ÷ 65536     		x = 0.394561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42242 ÷ 216
    42242 ÷ 65536     		y = 0.644561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.21087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66248795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.28912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.908308374000824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66248795} λ = -0.66248795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908308374000824))-π/2
    2×atan(0.403205720732562)-π/2
    2×0.383266870940606-π/2
    0.766533741881213-1.57079632675     		φ = -0.80426258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66248795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80426258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.080851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25858 KachelY 42242 -0.66248795 -0.80426258 -37.957764 -46.080851
    Oben rechts KachelX + 1 25859 KachelY 42242 -0.66239208 -0.80426258 -37.952271 -46.080851
    Unten links KachelX 25858 KachelY + 1 42243 -0.66248795 -0.80432908 -37.957764 -46.084662
    Unten rechts KachelX + 1 25859 KachelY + 1 42243 -0.66239208 -0.80432908 -37.952271 -46.084662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80426258--0.80432908) × R
    6.65000000000804e-05 × 6371000     		dl = 423.671500000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80426258--0.80432908) × R
    6.65000000000804e-05 × 6371000     		dr = 423.671500000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66248795--0.66239208) × cos(-0.80426258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693642601453563 × 6371000     		do = 423.668417718811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66248795--0.66239208) × cos(-0.80432908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693594698684225 × 6371000     		du = 423.63915929315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80426258)-sin(-0.80432908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693642601453563-0.693594698684225)×R²
    abs(-0.66239208--0.66248795)×4.79027693377487e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79027693377487e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79027693377487e-05×40589641000000     		ar = 179490.036123398m²