Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2586 / 538
↖ ↑ ↗
← N 78.733501°
E 47.285156°		 ← 1 909.38 m → N 78.733501°
E 47.373047°		 →
↑
1 910.85 m
↓
↑
1 910.85 m
↓
N 78.716316°
E 47.285156°		 ← 1 912.25 m →
3 651 284 m²		 N 78.716316°
E 47.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6314697265625 y=0.1314697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6314697265625 × 212)
    floor (0.6314697265625 × 4096)
    floor (2586.5)     		tx = 2586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1314697265625 × 212)
    floor (0.1314697265625 × 4096)
    floor (538.5)     		ty = 538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2586 / 538 ti = "12/2586/538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2586/538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2586 ÷ 212
    2586 ÷ 4096     		x = 0.63134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 538 ÷ 212
    538 ÷ 4096     		y = 0.13134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63134765625 × 2 - 1) × π
    0.2626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82528166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13134765625 × 2 - 1) × π
    0.7373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31631098964111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82528166} λ = 0.82528166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31631098964111))-π/2
    2×atan(10.1382052924316)-π/2
    2×1.47247757113172-π/2
    2.94495514226343-1.57079632675     		φ = 1.37415882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82528166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37415882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.733501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2586 KachelY 538 0.82528166 1.37415882 47.285156 78.733501
    Oben rechts KachelX + 1 2587 KachelY 538 0.82681564 1.37415882 47.373047 78.733501
    Unten links KachelX 2586 KachelY + 1 539 0.82528166 1.37385889 47.285156 78.716316
    Unten rechts KachelX + 1 2587 KachelY + 1 539 0.82681564 1.37385889 47.373047 78.716316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37415882-1.37385889) × R
    0.000299929999999948 × 6371000     		dl = 1910.85402999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37415882-1.37385889) × R
    0.000299929999999948 × 6371000     		dr = 1910.85402999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82528166-0.82681564) × cos(1.37415882) × R
    0.00153397999999993 × 0.19537274668399 × 6371000     		do = 1909.37523144029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82528166-0.82681564) × cos(1.37385889) × R
    0.00153397999999993 × 0.195666887958985 × 6371000     		du = 1912.24987017345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37415882)-sin(1.37385889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19537274668399-0.195666887958985)×R²
    abs(0.82681564-0.82528166)×0.000294141274995163×R²
    0.00153397999999993×0.000294141274995163×6371000²
    0.00153397999999993×0.000294141274995163×40589641000000     		ar = 3651283.89065208m²