Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25872 / 42256
↖ ↑ ↗
← S 46.134170°
W 37.880859°		 ← 423.26 m → S 46.134170°
W 37.875366°		 →
↑
423.29 m
↓
↑
423.29 m
↓
S 46.137976°
W 37.880859°		 ← 423.23 m →
179 155 m²		 S 46.137976°
W 37.875366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394783020019531 y=0.644783020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394783020019531 × 216)
    floor (0.394783020019531 × 65536)
    floor (25872.5)     		tx = 25872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644783020019531 × 216)
    floor (0.644783020019531 × 65536)
    floor (42256.5)     		ty = 42256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25872 / 42256 ti = "16/25872/42256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25872/42256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25872 ÷ 216
    25872 ÷ 65536     		x = 0.394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42256 ÷ 216
    42256 ÷ 65536     		y = 0.644775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.21044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.66114572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.28955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.909650607190186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66114572} λ = -0.66114572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909650607190186))-π/2
    2×atan(0.402664887675291)-π/2
    2×0.382801580915512-π/2
    0.765603161831024-1.57079632675     		φ = -0.80519316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66114572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.880859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80519316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.134170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25872 KachelY 42256 -0.66114572 -0.80519316 -37.880859 -46.134170
    Oben rechts KachelX + 1 25873 KachelY 42256 -0.66104985 -0.80519316 -37.875366 -46.134170
    Unten links KachelX 25872 KachelY + 1 42257 -0.66114572 -0.80525960 -37.880859 -46.137976
    Unten rechts KachelX + 1 25873 KachelY + 1 42257 -0.66104985 -0.80525960 -37.875366 -46.137976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80519316--0.80525960) × R
    6.64400000000009e-05 × 6371000     		dl = 423.289240000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80519316--0.80525960) × R
    6.64400000000009e-05 × 6371000     		dr = 423.289240000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66114572--0.66104985) × cos(-0.80519316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692971986445446 × 6371000     		do = 423.258814273475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66114572--0.66104985) × cos(-0.80525960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.692924084033892 × 6371000     		du = 423.229556066344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80519316)-sin(-0.80525960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692971986445446-0.692924084033892)×R²
    abs(-0.66104985--0.66114572)×4.79024115540572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79024115540572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79024115540572e-05×40589641000000     		ar = 179154.709540958m²