Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25888 / 42272
↖ ↑ ↗
← S 46.195042°
W 37.792969°		 ← 422.83 m → S 46.195042°
W 37.787475°		 →
↑
422.78 m
↓
↑
422.78 m
↓
S 46.198844°
W 37.792969°		 ← 422.81 m →
178 760 m²		 S 46.198844°
W 37.787475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.395027160644531 y=0.645027160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.395027160644531 × 216)
    floor (0.395027160644531 × 65536)
    floor (25888.5)     		tx = 25888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645027160644531 × 216)
    floor (0.645027160644531 × 65536)
    floor (42272.5)     		ty = 42272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25888 / 42272 ti = "16/25888/42272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25888/42272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25888 ÷ 216
    25888 ÷ 65536     		x = 0.39501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42272 ÷ 216
    42272 ÷ 65536     		y = 0.64501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39501953125 × 2 - 1) × π
    -0.2099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.65961174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64501953125 × 2 - 1) × π
    -0.2900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.911184587978027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65961174} λ = -0.65961174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911184587978027))-π/2
    2×atan(0.402047680986289)-π/2
    2×0.38227037195969-π/2
    0.76454074391938-1.57079632675     		φ = -0.80625558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65961174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.792969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80625558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.195042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25888 KachelY 42272 -0.65961174 -0.80625558 -37.792969 -46.195042
    Oben rechts KachelX + 1 25889 KachelY 42272 -0.65951586 -0.80625558 -37.787475 -46.195042
    Unten links KachelX 25888 KachelY + 1 42273 -0.65961174 -0.80632194 -37.792969 -46.198844
    Unten rechts KachelX + 1 25889 KachelY + 1 42273 -0.65951586 -0.80632194 -37.787475 -46.198844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80625558--0.80632194) × R
    6.63600000000431e-05 × 6371000     		dl = 422.779560000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80625558--0.80632194) × R
    6.63600000000431e-05 × 6371000     		dr = 422.779560000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65961174--0.65951586) × cos(-0.80625558) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.692205628382587 × 6371000     		do = 422.834832562046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65961174--0.65951586) × cos(-0.80632194) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.692157734824529 × 6371000     		du = 422.805576711224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80625558)-sin(-0.80632194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692205628382587-0.692157734824529)×R²
    abs(-0.65951586--0.65961174)×4.78935580578987e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78935580578987e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78935580578987e-05×40589641000000     		ar = 178759.740141142m²