Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 259 / 1797
↖ ↑ ↗
← S 79.335219°
W134.472657°		 ← 3 617.24 m → S 79.335219°
W134.296875°		 →
↑
3 611.78 m
↓
↑
3 611.78 m
↓
S 79.367701°
W134.472657°		 ← 3 606.35 m →
13 045 022 m²		 S 79.367701°
W134.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126708984375 y=0.877685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126708984375 × 211)
    floor (0.126708984375 × 2048)
    floor (259.5)     		tx = 259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877685546875 × 211)
    floor (0.877685546875 × 2048)
    floor (1797.5)     		ty = 1797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 259 / 1797 ti = "11/259/1797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/259/1797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 259 ÷ 211
    259 ÷ 2048     		x = 0.12646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1797 ÷ 211
    1797 ÷ 2048     		y = 0.87744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34699061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87744140625 × 2 - 1) × π
    -0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34699061} λ = -2.34699061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37153429800342))-π/2
    2×atan(0.0933374089602242)-π/2
    2×0.0930677691531483-π/2
    0.186135538306297-1.57079632675     		φ = -1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34699061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.472657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 259 KachelY 1797 -2.34699061 -1.38466079 -134.472657 -79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 260 KachelY 1797 -2.34392264 -1.38466079 -134.296875 -79.335219
    Unten links KachelX 259 KachelY + 1 1798 -2.34699061 -1.38522770 -134.472657 -79.367701
    Unten rechts KachelX + 1 260 KachelY + 1 1798 -2.34392264 -1.38522770 -134.296875 -79.367701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38466079--1.38522770) × R
    0.000566909999999865 × 6371000     		dl = 3611.78360999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38466079--1.38522770) × R
    0.000566909999999865 × 6371000     		dr = 3611.78360999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34699061--2.34392264) × cos(-1.38466079) × R
    0.00306797000000003 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 3617.23991368826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34699061--2.34392264) × cos(-1.38522770) × R
    0.00306797000000003 × 0.184505427649398 × 6371000     		du = 3606.34989155028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38466079)-sin(-1.38522770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.184505427649398)×R²
    abs(-2.34392264--2.34699061)×0.000557147324053847×R²
    0.00306797000000003×0.000557147324053847×6371000²
    0.00306797000000003×0.000557147324053847×40589641000000     		ar = 13045021.9813456m²