Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2591 / 2593
↖ ↑ ↗
← S 43.133061°
E 47.724610°		 ← 7 132.01 m → S 43.133061°
E 47.812500°		 →
↑
7 128.32 m
↓
↑
7 128.32 m
↓
S 43.197167°
E 47.724610°		 ← 7 124.53 m →
50 812 612 m²		 S 43.197167°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6326904296875 y=0.6331787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6326904296875 × 212)
    floor (0.6326904296875 × 4096)
    floor (2591.5)     		tx = 2591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6331787109375 × 212)
    floor (0.6331787109375 × 4096)
    floor (2593.5)     		ty = 2593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2591 / 2593 ti = "12/2591/2593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2591/2593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2591 ÷ 212
    2591 ÷ 4096     		x = 0.632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2593 ÷ 212
    2593 ÷ 4096     		y = 0.633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632568359375 × 2 - 1) × π
    0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.26611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.836019529373779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83295157} λ = 0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.836019529373779))-π/2
    2×atan(0.433432359071301)-π/2
    2×0.408991196532127-π/2
    0.817982393064255-1.57079632675     		φ = -0.75281393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75281393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.133061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2591 KachelY 2593 0.83295157 -0.75281393 47.724610 -43.133061
    Oben rechts KachelX + 1 2592 KachelY 2593 0.83448555 -0.75281393 47.812500 -43.133061
    Unten links KachelX 2591 KachelY + 1 2594 0.83295157 -0.75393280 47.724610 -43.197167
    Unten rechts KachelX + 1 2592 KachelY + 1 2594 0.83448555 -0.75393280 47.812500 -43.197167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75281393--0.75393280) × R
    0.00111886999999999 × 6371000     		dl = 7128.32076999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75281393--0.75393280) × R
    0.00111886999999999 × 6371000     		dr = 7128.32076999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83295157-0.83448555) × cos(-0.75281393) × R
    0.00153398000000005 × 0.729767890820886 × 6371000     		do = 7132.01180350763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83295157-0.83448555) × cos(-0.75393280) × R
    0.00153398000000005 × 0.729002468391097 × 6371000     		du = 7124.53134037328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75281393)-sin(-0.75393280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729767890820886-0.729002468391097)×R²
    abs(0.83448555-0.83295157)×0.000765422429788387×R²
    0.00153398000000005×0.000765422429788387×6371000²
    0.00153398000000005×0.000765422429788387×40589641000000     		ar = 50812611.6013604m²