Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2592 / 608
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
E 47.812500°		 ← 2 120.92 m → N 77.466029°
E 47.900391°		 →
↑
2 122.56 m
↓
↑
2 122.56 m
↓
N 77.446940°
E 47.812500°		 ← 2 124.10 m →
4 505 154 m²		 N 77.446940°
E 47.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6329345703125 y=0.1485595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6329345703125 × 212)
    floor (0.6329345703125 × 4096)
    floor (2592.5)     		tx = 2592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1485595703125 × 212)
    floor (0.1485595703125 × 4096)
    floor (608.5)     		ty = 608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2592 / 608 ti = "12/2592/608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2592/608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2592 ÷ 212
    2592 ÷ 4096     		x = 0.6328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 608 ÷ 212
    608 ÷ 4096     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6328125 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83448555} λ = 0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2592 KachelY 608 0.83448555 1.35203726 47.812500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 2593 KachelY 608 0.83601953 1.35203726 47.900391 77.466029
    Unten links KachelX 2592 KachelY + 1 609 0.83448555 1.35170410 47.812500 77.446940
    Unten rechts KachelX + 1 2593 KachelY + 1 609 0.83601953 1.35170410 47.900391 77.446940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35170410) × R
    0.000333159999999832 × 6371000     		dl = 2122.56235999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35170410) × R
    0.000333159999999832 × 6371000     		dr = 2122.56235999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83448555-0.83601953) × cos(1.35203726) × R
    0.00153397999999993 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 2120.91822173561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83448555-0.83601953) × cos(1.35170410) × R
    0.00153397999999993 × 0.217343639730815 × 6371000     		du = 2124.09647433752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35170410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.217343639730815)×R²
    abs(0.83601953-0.83448555)×0.000325207916320958×R²
    0.00153397999999993×0.000325207916320958×6371000²
    0.00153397999999993×0.000325207916320958×40589641000000     		ar = 4505154.24743469m²