Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25920 / 42304
↖ ↑ ↗
← S 46.316584°
W 37.617188°		 ← 421.90 m → S 46.316584°
W 37.611694°		 →
↑
421.89 m
↓
↑
421.89 m
↓
S 46.320378°
W 37.617188°		 ← 421.87 m →
177 988 m²		 S 46.320378°
W 37.611694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.395515441894531 y=0.645515441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.395515441894531 × 216)
    floor (0.395515441894531 × 65536)
    floor (25920.5)     		tx = 25920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645515441894531 × 216)
    floor (0.645515441894531 × 65536)
    floor (42304.5)     		ty = 42304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25920 / 42304 ti = "16/25920/42304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25920/42304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25920 ÷ 216
    25920 ÷ 65536     		x = 0.3955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42304 ÷ 216
    42304 ÷ 65536     		y = 0.6455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3955078125 × 2 - 1) × π
    -0.208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.65654378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6455078125 × 2 - 1) × π
    -0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65654378} λ = -0.65654378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914252549553711))-π/2
    2×atan(0.400816104330366)-π/2
    2×0.381209717281512-π/2
    0.762419434563024-1.57079632675     		φ = -0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65654378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.617188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25920 KachelY 42304 -0.65654378 -0.80837689 -37.617188 -46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 25921 KachelY 42304 -0.65644790 -0.80837689 -37.611694 -46.316584
    Unten links KachelX 25920 KachelY + 1 42305 -0.65654378 -0.80844311 -37.617188 -46.320378
    Unten rechts KachelX + 1 25921 KachelY + 1 42305 -0.65644790 -0.80844311 -37.611694 -46.320378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80837689--0.80844311) × R
    6.62200000000057e-05 × 6371000     		dl = 421.887620000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80837689--0.80844311) × R
    6.62200000000057e-05 × 6371000     		dr = 421.887620000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65654378--0.65644790) × cos(-0.80837689) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 421.898698742245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65654378--0.65644790) × cos(-0.80844311) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.690625232315417 × 6371000     		du = 421.869445285428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80837689)-sin(-0.80844311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.690625232315417)×R²
    abs(-0.65644790--0.65654378)×4.78896389298766e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78896389298766e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78896389298766e-05×40589641000000     		ar = 177987.667123131m²