Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2593 / 3615
↖ ↑ ↗
← S 79.671438°
E 47.900391°		 ← 1 752.22 m → S 79.671438°
E 47.988281°		 →
↑
1 750.94 m
↓
↑
1 750.94 m
↓
S 79.687184°
E 47.900391°		 ← 1 749.58 m →
3 065 730 m²		 S 79.687184°
E 47.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6331787109375 y=0.8826904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6331787109375 × 212)
    floor (0.6331787109375 × 4096)
    floor (2593.5)     		tx = 2593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8826904296875 × 212)
    floor (0.8826904296875 × 4096)
    floor (3615.5)     		ty = 3615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2593 / 3615 ti = "12/2593/3615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2593/3615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2593 ÷ 212
    2593 ÷ 4096     		x = 0.633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3615 ÷ 212
    3615 ÷ 4096     		y = 0.882568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633056640625 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83601953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882568359375 × 2 - 1) × π
    -0.76513671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4037478945481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83601953} λ = 0.83601953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4037478945481))-π/2
    2×atan(0.090378588316178)-π/2
    2×0.0901337078699837-π/2
    0.180267415739967-1.57079632675     		φ = -1.39052891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83601953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39052891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.671438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2593 KachelY 3615 0.83601953 -1.39052891 47.900391 -79.671438
    Oben rechts KachelX + 1 2594 KachelY 3615 0.83755351 -1.39052891 47.988281 -79.671438
    Unten links KachelX 2593 KachelY + 1 3616 0.83601953 -1.39080374 47.900391 -79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 2594 KachelY + 1 3616 0.83755351 -1.39080374 47.988281 -79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39052891--1.39080374) × R
    0.000274829999999948 × 6371000     		dl = 1750.94192999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39052891--1.39080374) × R
    0.000274829999999948 × 6371000     		dr = 1750.94192999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83601953-0.83755351) × cos(-1.39052891) × R
    0.00153398000000005 × 0.179292663348335 × 6371000     		do = 1752.22479279579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83601953-0.83755351) × cos(-1.39080374) × R
    0.00153398000000005 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 1749.58233982248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39052891)-sin(-1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179292663348335-0.179022279985821)×R²
    abs(0.83755351-0.83601953)×0.000270383362514115×R²
    0.00153398000000005×0.000270383362514115×6371000²
    0.00153398000000005×0.000270383362514115×40589641000000     		ar = 3065730.48893338m²