Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2594 / 3618
↖ ↑ ↗
← S 79.718605°
E 47.988281°		 ← 1 744.31 m → S 79.718605°
E 48.076172°		 →
↑
1 742.98 m
↓
↑
1 742.98 m
↓
S 79.734280°
E 47.988281°		 ← 1 741.68 m →
3 038 000 m²		 S 79.734280°
E 48.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6334228515625 y=0.8834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6334228515625 × 212)
    floor (0.6334228515625 × 4096)
    floor (2594.5)     		tx = 2594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8834228515625 × 212)
    floor (0.8834228515625 × 4096)
    floor (3618.5)     		ty = 3618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2594 / 3618 ti = "12/2594/3618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2594/3618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2594 ÷ 212
    2594 ÷ 4096     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3618 ÷ 212
    3618 ÷ 4096     		y = 0.88330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    -0.7666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40834983691162))-π/2
    2×atan(0.0899636268086538)-π/2
    2×0.0897220931370342-π/2
    0.179444186274068-1.57079632675     		φ = -1.39135214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39135214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.718605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2594 KachelY 3618 0.83755351 -1.39135214 47.988281 -79.718605
    Oben rechts KachelX + 1 2595 KachelY 3618 0.83908749 -1.39135214 48.076172 -79.718605
    Unten links KachelX 2594 KachelY + 1 3619 0.83755351 -1.39162572 47.988281 -79.734280
    Unten rechts KachelX + 1 2595 KachelY + 1 3619 0.83908749 -1.39162572 48.076172 -79.734280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39135214--1.39162572) × R
    0.000273579999999995 × 6371000     		dl = 1742.97817999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39135214--1.39162572) × R
    0.000273579999999995 × 6371000     		dr = 1742.97817999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.83908749) × cos(-1.39135214) × R
    0.00153398000000005 × 0.178482712484118 × 6371000     		do = 1744.30915386934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.83908749) × cos(-1.39162572) × R
    0.00153398000000005 × 0.178213518669095 × 6371000     		du = 1741.6783263277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39135214)-sin(-1.39162572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178482712484118-0.178213518669095)×R²
    abs(0.83908749-0.83755351)×0.000269193815023383×R²
    0.00153398000000005×0.000269193815023383×6371000²
    0.00153398000000005×0.000269193815023383×40589641000000     		ar = 3038000.07581793m²