Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25984 / 42368
↖ ↑ ↗
← S 46.558860°
W 37.265625°		 ← 419.98 m → S 46.558860°
W 37.260132°		 →
↑
419.98 m
↓
↑
419.98 m
↓
S 46.562637°
W 37.265625°		 ← 419.95 m →
176 377 m²		 S 46.562637°
W 37.260132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.396492004394531 y=0.646492004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.396492004394531 × 216)
    floor (0.396492004394531 × 65536)
    floor (25984.5)     		tx = 25984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646492004394531 × 216)
    floor (0.646492004394531 × 65536)
    floor (42368.5)     		ty = 42368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25984 / 42368 ti = "16/25984/42368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25984/42368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25984 ÷ 216
    25984 ÷ 65536     		x = 0.396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42368 ÷ 216
    42368 ÷ 65536     		y = 0.646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.396484375 × 2 - 1) × π
    -0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646484375 × 2 - 1) × π
    -0.29296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65040785} λ = -0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920388472705078))-π/2
    2×atan(0.398364257381167)-π/2
    2×0.379095459273753-π/2
    0.758190918547505-1.57079632675     		φ = -0.81260541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81260541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.558860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25984 KachelY 42368 -0.65040785 -0.81260541 -37.265625 -46.558860
    Oben rechts KachelX + 1 25985 KachelY 42368 -0.65031198 -0.81260541 -37.260132 -46.558860
    Unten links KachelX 25984 KachelY + 1 42369 -0.65040785 -0.81267133 -37.265625 -46.562637
    Unten rechts KachelX + 1 25985 KachelY + 1 42369 -0.65031198 -0.81267133 -37.260132 -46.562637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81260541--0.81267133) × R
    6.59200000000526e-05 × 6371000     		dl = 419.976320000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81260541--0.81267133) × R
    6.59200000000526e-05 × 6371000     		dr = 419.976320000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65040785--0.65031198) × cos(-0.81260541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687609029827766 × 6371000     		do = 419.983185960356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65040785--0.65031198) × cos(-0.81267133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687561165065057 × 6371000     		du = 419.953950748679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81260541)-sin(-0.81267133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687609029827766-0.687561165065057)×R²
    abs(-0.65031198--0.65040785)×4.78647627090156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78647627090156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78647627090156e-05×40589641000000     		ar = 176376.853917147m²