Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 260 / 260
↖ ↑ ↗
← S  2.811371°
E  2.812500°		 ← 78.090 km → S  2.811371°
E  3.515625°		 →
↑
78.064 km
↓
↑
78.064 km
↓
S  3.513421°
E  2.812500°		 ← 78.037 km →
6 094.05 km²		 S  3.513421°
E  3.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5087890625 y=0.5087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5087890625 × 29)
    floor (0.5087890625 × 512)
    floor (260.5)     		tx = 260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5087890625 × 29)
    floor (0.5087890625 × 512)
    floor (260.5)     		ty = 260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 260 / 260 ti = "9/260/260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/260/260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 260 ÷ 29
    260 ÷ 512     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 260 ÷ 29
    260 ÷ 512     		y = 0.5078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5078125 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0490873852109375))-π/2
    2×atan(0.95209792678504)-π/2
    2×0.760864321488474-π/2
    1.52172864297695-1.57079632675     		φ = -0.04906768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04906768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.811371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 260 KachelY 260 0.04908739 -0.04906768 2.812500 -2.811371
    Oben rechts KachelX + 1 261 KachelY 260 0.06135923 -0.04906768 3.515625 -2.811371
    Unten links KachelX 260 KachelY + 1 261 0.04908739 -0.06132077 2.812500 -3.513421
    Unten rechts KachelX + 1 261 KachelY + 1 261 0.06135923 -0.06132077 3.515625 -3.513421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04906768--0.06132077) × R
    0.01225309 × 6371000     		dl = 78064.43639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04906768--0.06132077) × R
    0.01225309 × 6371000     		dr = 78064.43639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.06135923) × cos(-0.04906768) × R
    0.01227184 × 0.9987964229002 × 6371000     		do = 78089.7922972453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.06135923) × cos(-0.06132077) × R
    0.01227184 × 0.998120470650342 × 6371000     		du = 78036.9437191126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04906768)-sin(-0.06132077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9987964229002-0.998120470650342)×R²
    abs(0.06135923-0.04908739)×0.000675952249858502×R²
    0.01227184×0.000675952249858502×6371000²
    0.01227184×0.000675952249858502×40589641000000     		ar = 6094049072.25835m²