Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26112 / 56832
↖ ↑ ↗
← S 78.630006°
W 36.562500°		 ← 120.43 m → S 78.630006°
W 36.557007°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 78.631089°
W 36.562500°		 ← 120.41 m →
14 500 m²		 S 78.631089°
W 36.557007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398445129394531 y=0.867195129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398445129394531 × 216)
    floor (0.398445129394531 × 65536)
    floor (26112.5)     		tx = 26112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.867195129394531 × 216)
    floor (0.867195129394531 × 65536)
    floor (56832.5)     		ty = 56832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26112 / 56832 ti = "16/26112/56832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26112/56832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26112 ÷ 216
    26112 ÷ 65536     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56832 ÷ 216
    56832 ÷ 65536     		y = 0.8671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8671875 × 2 - 1) × π
    -0.734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.30710710491406))-π/2
    2×atan(0.099548819698183)-π/2
    2×0.0992219193946073-π/2
    0.198443838789215-1.57079632675     		φ = -1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26112 KachelY 56832 -0.63813601 -1.37235249 -36.562500 -78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 26113 KachelY 56832 -0.63804013 -1.37235249 -36.557007 -78.630006
    Unten links KachelX 26112 KachelY + 1 56833 -0.63813601 -1.37237139 -36.562500 -78.631089
    Unten rechts KachelX + 1 26113 KachelY + 1 56833 -0.63804013 -1.37237139 -36.557007 -78.631089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37235249--1.37237139) × R
    1.89000000001549e-05 × 6371000     		dl = 120.411900000987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37235249--1.37237139) × R
    1.89000000001549e-05 × 6371000     		dr = 120.411900000987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.63804013) × cos(-1.37235249) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 120.425671987577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.63804013) × cos(-1.37237139) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.197125418196232 × 6371000     		du = 120.414353450708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37235249)-sin(-1.37237139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197125418196232)×R²
    abs(-0.63804013--0.63813601)×1.85291142603961e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.85291142603961e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.85291142603961e-05×40589641000000     		ar = 14500.0025302897m²