Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26112 / 9728
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
W 36.562500°		 ← 132.57 m → N 77.466029°
W 36.557007°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
N 77.464836°
W 36.562500°		 ← 132.58 m →
17 576 m²		 N 77.464836°
W 36.557007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398445129394531 y=0.148445129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398445129394531 × 216)
    floor (0.398445129394531 × 65536)
    floor (26112.5)     		tx = 26112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148445129394531 × 216)
    floor (0.148445129394531 × 65536)
    floor (9728.5)     		ty = 9728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26112 / 9728 ti = "16/26112/9728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26112/9728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26112 ÷ 216
    26112 ÷ 65536     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9728 ÷ 216
    9728 ÷ 65536     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26112 KachelY 9728 -0.63813601 1.35203726 -36.562500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 26113 KachelY 9728 -0.63804013 1.35203726 -36.557007 77.466029
    Unten links KachelX 26112 KachelY + 1 9729 -0.63813601 1.35201645 -36.562500 77.464836
    Unten rechts KachelX + 1 26113 KachelY + 1 9729 -0.63804013 1.35201645 -36.557007 77.464836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35201645) × R
    2.08099999998712e-05 × 6371000     		dl = 132.580509999179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35201645) × R
    2.08099999998712e-05 × 6371000     		dr = 132.580509999179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.63804013) × cos(1.35203726) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 132.566030261076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.63804013) × cos(1.35201645) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.217038745813307 × 6371000     		du = 132.578439097315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35201645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.217038745813307)×R²
    abs(-0.63804013--0.63813601)×2.0313998812832e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.0313998812832e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.0313998812832e-05×40589641000000     		ar = 17576.4944857747m²