Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26113 / 40449
↖ ↑ ↗
← S 38.826871°
W 36.557007°		 ← 475.83 m → S 38.826871°
W 36.551514°		 →
↑
475.85 m
↓
↑
475.85 m
↓
S 38.831150°
W 36.557007°		 ← 475.80 m →
226 417 m²		 S 38.831150°
W 36.551514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398460388183594 y=0.617210388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398460388183594 × 216)
    floor (0.398460388183594 × 65536)
    floor (26113.5)     		tx = 26113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617210388183594 × 216)
    floor (0.617210388183594 × 65536)
    floor (40449.5)     		ty = 40449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26113 / 40449 ti = "16/26113/40449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26113/40449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26113 ÷ 216
    26113 ÷ 65536     		x = 0.398452758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40449 ÷ 216
    40449 ÷ 65536     		y = 0.617202758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398452758789062 × 2 - 1) × π
    -0.203094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63804013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617202758789062 × 2 - 1) × π
    -0.234405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.736406651963303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63804013} λ = -0.63804013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736406651963303))-π/2
    2×atan(0.478831435848729)-π/2
    2×0.446569798983837-π/2
    0.893139597967675-1.57079632675     		φ = -0.67765673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63804013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.557007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67765673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.826871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26113 KachelY 40449 -0.63804013 -0.67765673 -36.557007 -38.826871
    Oben rechts KachelX + 1 26114 KachelY 40449 -0.63794426 -0.67765673 -36.551514 -38.826871
    Unten links KachelX 26113 KachelY + 1 40450 -0.63804013 -0.67773142 -36.557007 -38.831150
    Unten rechts KachelX + 1 26114 KachelY + 1 40450 -0.63794426 -0.67773142 -36.551514 -38.831150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67765673--0.67773142) × R
    7.46899999999329e-05 × 6371000     		dl = 475.849989999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67765673--0.67773142) × R
    7.46899999999329e-05 × 6371000     		dr = 475.849989999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63804013--0.63794426) × cos(-0.67765673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779044014440305 × 6371000     		do = 475.830556311831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63804013--0.63794426) × cos(-0.67773142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.778997183935085 × 6371000     		du = 475.80195281198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67765673)-sin(-0.67773142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779044014440305-0.778997183935085)×R²
    abs(-0.63794426--0.63804013)×4.68305052194751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68305052194751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68305052194751e-05×40589641000000     		ar = 226417.160079837m²