Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26128 / 40464
↖ ↑ ↗
← S 38.891033°
W 36.474610°		 ← 475.45 m → S 38.891033°
W 36.469116°		 →
↑
475.40 m
↓
↑
475.40 m
↓
S 38.895308°
W 36.474610°		 ← 475.42 m →
226 025 m²		 S 38.895308°
W 36.469116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398689270019531 y=0.617439270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398689270019531 × 216)
    floor (0.398689270019531 × 65536)
    floor (26128.5)     		tx = 26128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617439270019531 × 216)
    floor (0.617439270019531 × 65536)
    floor (40464.5)     		ty = 40464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26128 / 40464 ti = "16/26128/40464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26128/40464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26128 ÷ 216
    26128 ÷ 65536     		x = 0.398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40464 ÷ 216
    40464 ÷ 65536     		y = 0.617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.20263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63660203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.23486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.737844758951904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63660203} λ = -0.63660203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.737844758951904))-π/2
    2×atan(0.478143319925226)-π/2
    2×0.446009877243945-π/2
    0.892019754487891-1.57079632675     		φ = -0.67877657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63660203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.474610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67877657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.891033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26128 KachelY 40464 -0.63660203 -0.67877657 -36.474610 -38.891033
    Oben rechts KachelX + 1 26129 KachelY 40464 -0.63650615 -0.67877657 -36.469116 -38.891033
    Unten links KachelX 26128 KachelY + 1 40465 -0.63660203 -0.67885119 -36.474610 -38.895308
    Unten rechts KachelX + 1 26129 KachelY + 1 40465 -0.63650615 -0.67885119 -36.469116 -38.895308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67877657--0.67885119) × R
    7.46200000000252e-05 × 6371000     		dl = 475.404020000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67877657--0.67885119) × R
    7.46200000000252e-05 × 6371000     		dr = 475.404020000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63660203--0.63650615) × cos(-0.67877657) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.778341420880445 × 6371000     		do = 475.451008890362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63660203--0.63650615) × cos(-0.67885119) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.778294569199613 × 6371000     		du = 475.422389471785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67877657)-sin(-0.67885119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778341420880445-0.778294569199613)×R²
    abs(-0.63650615--0.63660203)×4.68516808321828e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.68516808321828e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.68516808321828e-05×40589641000000     		ar = 226024.518151184m²