Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2623 / 1599
↖ ↑ ↗
← N 36.668419°
E 50.537109°		 ← 7 838.96 m → N 36.668419°
E 50.625000°		 →
↑
7 842.57 m
↓
↑
7 842.57 m
↓
N 36.597889°
E 50.537109°		 ← 7 846.14 m →
61 505 783 m²		 N 36.597889°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6405029296875 y=0.3905029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6405029296875 × 212)
    floor (0.6405029296875 × 4096)
    floor (2623.5)     		tx = 2623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3905029296875 × 212)
    floor (0.3905029296875 × 4096)
    floor (1599.5)     		ty = 1599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2623 / 1599 ti = "12/2623/1599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2623/1599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2623 ÷ 212
    2623 ÷ 4096     		x = 0.640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1599 ÷ 212
    1599 ÷ 4096     		y = 0.390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640380859375 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88203895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390380859375 × 2 - 1) × π
    0.21923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.688757373740967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88203895} λ = 0.88203895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.688757373740967))-π/2
    2×atan(1.99123962859909)-π/2
    2×1.10539048420766-π/2
    2.21078096841533-1.57079632675     		φ = 0.63998464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88203895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63998464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.668419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2623 KachelY 1599 0.88203895 0.63998464 50.537109 36.668419
    Oben rechts KachelX + 1 2624 KachelY 1599 0.88357293 0.63998464 50.625000 36.668419
    Unten links KachelX 2623 KachelY + 1 1600 0.88203895 0.63875366 50.537109 36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 2624 KachelY + 1 1600 0.88357293 0.63875366 50.625000 36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63998464-0.63875366) × R
    0.00123097999999999 × 6371000     		dl = 7842.57357999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63998464-0.63875366) × R
    0.00123097999999999 × 6371000     		dr = 7842.57357999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88203895-0.88357293) × cos(0.63998464) × R
    0.00153398000000005 × 0.802104930711653 × 6371000     		do = 7838.96072359705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88203895-0.88357293) × cos(0.63875366) × R
    0.00153398000000005 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 7846.13910511891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63998464)-sin(0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802104930711653-0.802839443284969)×R²
    abs(0.88357293-0.88203895)×0.000734512573316359×R²
    0.00153398000000005×0.000734512573316359×6371000²
    0.00153398000000005×0.000734512573316359×40589641000000     		ar = 61505782.5248773m²