Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2623 / 574
↖ ↑ ↗
← N 78.098296°
E 50.537109°		 ← 2 015.52 m → N 78.098296°
E 50.625000°		 →
↑
2 017.06 m
↓
↑
2 017.06 m
↓
N 78.080156°
E 50.537109°		 ← 2 018.54 m →
4 068 466 m²		 N 78.080156°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6405029296875 y=0.1402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6405029296875 × 212)
    floor (0.6405029296875 × 4096)
    floor (2623.5)     		tx = 2623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1402587890625 × 212)
    floor (0.1402587890625 × 4096)
    floor (574.5)     		ty = 574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2623 / 574 ti = "12/2623/574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2623/574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2623 ÷ 212
    2623 ÷ 4096     		x = 0.640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 574 ÷ 212
    574 ÷ 4096     		y = 0.14013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640380859375 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88203895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    0.7197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26108768127881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88203895} λ = 0.88203895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26108768127881))-π/2
    2×atan(9.59351818413953)-π/2
    2×1.46693436259142-π/2
    2.93386872518284-1.57079632675     		φ = 1.36307240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88203895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36307240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.098296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2623 KachelY 574 0.88203895 1.36307240 50.537109 78.098296
    Oben rechts KachelX + 1 2624 KachelY 574 0.88357293 1.36307240 50.625000 78.098296
    Unten links KachelX 2623 KachelY + 1 575 0.88203895 1.36275580 50.537109 78.080156
    Unten rechts KachelX + 1 2624 KachelY + 1 575 0.88357293 1.36275580 50.625000 78.080156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36307240-1.36275580) × R
    0.000316600000000111 × 6371000     		dl = 2017.05860000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36307240-1.36275580) × R
    0.000316600000000111 × 6371000     		dr = 2017.05860000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88203895-0.88357293) × cos(1.36307240) × R
    0.00153398000000005 × 0.206233291845377 × 6371000     		do = 2015.51519355415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88203895-0.88357293) × cos(1.36275580) × R
    0.00153398000000005 × 0.206543075506861 × 6371000     		du = 2018.54270512054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36307240)-sin(1.36275580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206233291845377-0.206543075506861)×R²
    abs(0.88357293-0.88203895)×0.000309783661483626×R²
    0.00153398000000005×0.000309783661483626×6371000²
    0.00153398000000005×0.000309783661483626×40589641000000     		ar = 4068465.62269871m²