Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2624 / 1600
↖ ↑ ↗
← N 36.597889°
E 50.625000°		 ← 7 846.14 m → N 36.597889°
E 50.712890°		 →
↑
7 849.71 m
↓
↑
7 849.71 m
↓
N 36.527295°
E 50.625000°		 ← 7 853.31 m →
61 618 070 m²		 N 36.527295°
E 50.712890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6407470703125 y=0.3907470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6407470703125 × 212)
    floor (0.6407470703125 × 4096)
    floor (2624.5)     		tx = 2624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3907470703125 × 212)
    floor (0.3907470703125 × 4096)
    floor (1600.5)     		ty = 1600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2624 / 1600 ti = "12/2624/1600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2624/1600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2624 ÷ 212
    2624 ÷ 4096     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1600 ÷ 212
    1600 ÷ 4096     		y = 0.390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.390625 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Φ = 0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687223392953125))-π/2
    2×atan(1.98818744685741)-π/2
    2×1.10477499571553-π/2
    2.20954999143106-1.57079632675     		φ = 0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2624 KachelY 1600 0.88357293 0.63875366 50.625000 36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 2625 KachelY 1600 0.88510691 0.63875366 50.712890 36.597889
    Unten links KachelX 2624 KachelY + 1 1601 0.88357293 0.63752156 50.625000 36.527295
    Unten rechts KachelX + 1 2625 KachelY + 1 1601 0.88510691 0.63752156 50.712890 36.527295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63875366-0.63752156) × R
    0.00123209999999996 × 6371000     		dl = 7849.70909999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63875366-0.63752156) × R
    0.00123209999999996 × 6371000     		dr = 7849.70909999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88510691) × cos(0.63875366) × R
    0.00153397999999993 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 7846.13910511834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88510691) × cos(0.63752156) × R
    0.00153397999999993 × 0.803573405937235 × 6371000     		du = 7853.31211226916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63875366)-sin(0.63752156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.803573405937235)×R²
    abs(0.88510691-0.88357293)×0.00073396265226644×R²
    0.00153397999999993×0.00073396265226644×6371000²
    0.00153397999999993×0.00073396265226644×40589641000000     		ar = 61618070.3381098m²