Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26240 / 42624
↖ ↑ ↗
← S 47.517200°
W 35.859375°		 ← 412.51 m → S 47.517200°
W 35.853882°		 →
↑
412.52 m
↓
↑
412.52 m
↓
S 47.520910°
W 35.859375°		 ← 412.48 m →
170 162 m²		 S 47.520910°
W 35.853882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.400398254394531 y=0.650398254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.400398254394531 × 216)
    floor (0.400398254394531 × 65536)
    floor (26240.5)     		tx = 26240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650398254394531 × 216)
    floor (0.650398254394531 × 65536)
    floor (42624.5)     		ty = 42624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26240 / 42624 ti = "16/26240/42624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26240/42624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26240 ÷ 216
    26240 ÷ 65536     		x = 0.400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42624 ÷ 216
    42624 ÷ 65536     		y = 0.650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.400390625 × 2 - 1) × π
    -0.19921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62586416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650390625 × 2 - 1) × π
    -0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62586416} λ = -0.62586416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944932165310547))-π/2
    2×atan(0.388705937754025)-π/2
    2×0.370732361652446-π/2
    0.741464723304892-1.57079632675     		φ = -0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62586416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26240 KachelY 42624 -0.62586416 -0.82933160 -35.859375 -47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 26241 KachelY 42624 -0.62576829 -0.82933160 -35.853882 -47.517200
    Unten links KachelX 26240 KachelY + 1 42625 -0.62586416 -0.82939635 -35.859375 -47.520910
    Unten rechts KachelX + 1 26241 KachelY + 1 42625 -0.62576829 -0.82939635 -35.853882 -47.520910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82933160--0.82939635) × R
    6.47500000000578e-05 × 6371000     		dl = 412.522250000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82933160--0.82939635) × R
    6.47500000000578e-05 × 6371000     		dr = 412.522250000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62586416--0.62576829) × cos(-0.82933160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 412.507029305072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62586416--0.62576829) × cos(-0.82939635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675321089356278 × 6371000     		du = 412.477862201883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82933160)-sin(-0.82939635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.675321089356278)×R²
    abs(-0.62576829--0.62586416)×4.77532534575165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77532534575165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77532534575165e-05×40589641000000     		ar = 170162.311889581m²