Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2626 / 1602
↖ ↑ ↗
← N 36.456636°
E 50.800782°		 ← 7 860.48 m → N 36.456636°
E 50.888672°		 →
↑
7 864.04 m
↓
↑
7 864.04 m
↓
N 36.385913°
E 50.800782°		 ← 7 867.64 m →
61 843 327 m²		 N 36.385913°
E 50.888672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6412353515625 y=0.3912353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6412353515625 × 212)
    floor (0.6412353515625 × 4096)
    floor (2626.5)     		tx = 2626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3912353515625 × 212)
    floor (0.3912353515625 × 4096)
    floor (1602.5)     		ty = 1602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2626 / 1602 ti = "12/2626/1602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2626/1602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2626 ÷ 212
    2626 ÷ 4096     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1602 ÷ 212
    1602 ÷ 4096     		y = 0.39111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.684155431377441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.684155431377441))-π/2
    2×atan(1.98209711139983)-π/2
    2×1.10354232969133-π/2
    2.20708465938266-1.57079632675     		φ = 0.63628833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63628833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.456636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2626 KachelY 1602 0.88664090 0.63628833 50.800782 36.456636
    Oben rechts KachelX + 1 2627 KachelY 1602 0.88817488 0.63628833 50.888672 36.456636
    Unten links KachelX 2626 KachelY + 1 1603 0.88664090 0.63505398 50.800782 36.385913
    Unten rechts KachelX + 1 2627 KachelY + 1 1603 0.88817488 0.63505398 50.888672 36.385913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63628833-0.63505398) × R
    0.00123434999999994 × 6371000     		dl = 7864.04384999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63628833-0.63505398) × R
    0.00123434999999994 × 6371000     		dr = 7864.04384999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88817488) × cos(0.63628833) × R
    0.00153398000000005 × 0.804306820171228 × 6371000     		do = 7860.47975973612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88817488) × cos(0.63505398) × R
    0.00153398000000005 × 0.805039675578328 × 6371000     		du = 7867.64194579479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63628833)-sin(0.63505398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.804306820171228-0.805039675578328)×R²
    abs(0.88817488-0.88664090)×0.000732855407099886×R²
    0.00153398000000005×0.000732855407099886×6371000²
    0.00153398000000005×0.000732855407099886×40589641000000     		ar = 61843327.2373602m²