Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2627 / 581
↖ ↑ ↗
← N 77.970745°
E 50.888672°		 ← 2 036.80 m → N 77.970745°
E 50.976563°		 →
↑
2 038.34 m
↓
↑
2 038.34 m
↓
N 77.952414°
E 50.888672°		 ← 2 039.86 m →
4 154 801 m²		 N 77.952414°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6414794921875 y=0.1419677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6414794921875 × 212)
    floor (0.6414794921875 × 4096)
    floor (2627.5)     		tx = 2627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1419677734375 × 212)
    floor (0.1419677734375 × 4096)
    floor (581.5)     		ty = 581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2627 / 581 ti = "12/2627/581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2627/581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2627 ÷ 212
    2627 ÷ 4096     		x = 0.641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 581 ÷ 212
    581 ÷ 4096     		y = 0.141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641357421875 × 2 - 1) × π
    0.28271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88817488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141845703125 × 2 - 1) × π
    0.71630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25034981576392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88817488} λ = 0.88817488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25034981576392))-π/2
    2×atan(9.49105537649784)-π/2
    2×1.4658212734273-π/2
    2.9316425468546-1.57079632675     		φ = 1.36084622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88817488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36084622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.970745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2627 KachelY 581 0.88817488 1.36084622 50.888672 77.970745
    Oben rechts KachelX + 1 2628 KachelY 581 0.88970886 1.36084622 50.976563 77.970745
    Unten links KachelX 2627 KachelY + 1 582 0.88817488 1.36052628 50.888672 77.952414
    Unten rechts KachelX + 1 2628 KachelY + 1 582 0.88970886 1.36052628 50.976563 77.952414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36084622-1.36052628) × R
    0.000319940000000019 × 6371000     		dl = 2038.33774000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36084622-1.36052628) × R
    0.000319940000000019 × 6371000     		dr = 2038.33774000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88817488-0.88970886) × cos(1.36084622) × R
    0.00153398000000005 × 0.208411102489631 × 6371000     		do = 2036.79890775423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88817488-0.88970886) × cos(1.36052628) × R
    0.00153398000000005 × 0.208724006355723 × 6371000     		du = 2039.85691303838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36084622)-sin(1.36052628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208411102489631-0.208724006355723)×R²
    abs(0.88970886-0.88817488)×0.000312903866092118×R²
    0.00153398000000005×0.000312903866092118×6371000²
    0.00153398000000005×0.000312903866092118×40589641000000     		ar = 4154800.74169966m²